1-Natureza dos N\303\272meros
Um estudo dos v\303\241rios subconjuntos e propriedades dos n\303\272meros reais e caracter\303\255sticas interessantes de cada um.
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8"> 1. N\303\272meros Naturais e N\303\272meros Inteiros.</Font></Text-field>
A humanidade come\303\247ou na Matem\303\241tica como a maioria das crian\303\247as... contando os objetos que v\303\252em. Os n\303\272meros s\303\243o o primeiro n\303\255vel de abstra\303\247\303\243o na Matem\303\241tica, porque n\303\243o h\303\241 nada em comum entre cinco ma\303\247\303\243s, cinco pedras ou cinco dias... a n\303\243o ser o n\303\272mero cinco!Desta maneira, abrimos nossa janela e come\303\247amos a contar os n\303\272meros naturais:`\134n N\303\272meros Naturais ` = {k $ k = 1..100};
Demorou muitos s\303\251culos at\303\251 que o homem encontrasse um n\303\272mero curioso ...0..., um n\303\272mero que significasse nenhum objeto. Este foi um grande passo. Nos mostrou que o que existe n\303\243o \303\251 apenas o que existe, mas tamb\303\251m o que n\303\243o existe. E a partir desse caminho come\303\247amos a contar os n\303\272meros inteiros:
`\134n N\303\272meros Inteiros ` = {k $ k = 0..100};<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8"> 2. At\303\251 onde v\303\243o os n\303\272meros?</Font></Text-field>
Bem longe!
N\303\243o apenas o Universo \303\251 imenso, infinito; os n\303\272meros tamb\303\251m n\303\243o param de aparecer e com a ajuda do Maple resolvemos cont\303\241-los:3^2; `\134nVeja a quantidade de digito :` ,length(%);3^20; `\134nVeja a quantidade de digitos :` ,length(%);3^200; `\134nVeja a quantidade de digitos :` ,length(%);3^2000; `\134nVeja a quantidade de digitos :` ,length(%);3^20000; `\134nVeja a quantidade de digitos :` ,length(%);
Agora vamos tentar computar por alto alguns dos n\303\272meros mais comuns que encontrarmos. Voc\303\252 saberia dizer: se h\303\241 mais folhas de grama num est\303\241dio de futebol ou caracteres de letras numa biblioteca?
Pergunta 2.1 : Um cinema tem 40 fileiras e 26 lugares por fileira. Quantas pessoas ter\303\255amos se o cinema estivesse lotado?
40*26;
Pergunta 2.2 : Quantos caracteres tem a p\303\241gina de um livro?
(conte o n\303\272mero de linhas e a m\303\251dia de caracteres por linha)52*80;
Pergunta 2.3 : Quantos caracteres tem um livro de 350 p\303\241ginas?
350*52*80;
Pergunta 2.4 : Quantos livros tem uma biblioteca? (42 estantes, com seis prateleiras por estante, com 32 livros por prateleira).
42*6*32;
Pergunta 2.5 : Quantos caracteres impressos existem na biblioteca?
(350*52*80) *(42*6*32) ;
Pergunta 2.6 : Se cada cent\303\255metro quadrado de gramado tem dezenove folhas de grama, quantas folhas de grama em um campo de futebol de 110 metros por 75 metros ?19 * (100 * 110) * (100 * 75);
Pergunta 2.7 : Se cabem 400 gr\303\243os de areia em uma colher de ch\303\241 e isso espalhado cobriria um cent\303\255metro quadrado, quantos gr\303\243os de areia existem na superf\303\255cie superior de uma praia de duzentos metros de largura por 3 quil\303\264metros de comprimento?400 * 200 * 3* 100 * 100000;<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"> 3. Inteiros</Text-field>
Os inteiros se subdividem em tr\303\252s grupos: n\303\272meros naturais, zero e os negativos dos naturais. Usaremos o Maple para dar uma olhada :
`\134n Inteiros ` = {k $ k = -50..50};`\134nN\303\272meros Naturais Positivos` = {k $ k = 1..50};
`\134nZero ` = {k $ k = 1..50};
`\134nN\303\272meros Naturais Negativos` = {k $ k = -50..-1};
Algumas pessoas gostam de compreender como os extratos de banco funcionam. Ent\303\243o, note que os dep\303\263sitos s\303\243o sempre em n\303\272meros positivos, enquanto os cheques e saques ficam como n\303\272meros negativos. Exemplifiquem como dois dep\303\263sitos que s\303\242o "eliminados" por dois saques de valor equivalente. Esse princ\303\255pio \303\251 visto quando somamos dois n\303\272meros de mesmo sinal.
(123) + (456);(-123) + (-456);
Por\303\251m, quando a soma envolve n\303\272meros de sinais opostos resulta uma opera\303\247\303\243o que deve-se prestar aten\303\247\303\243o a respeito de qual n\303\272mero \303\251 maior. Por exemplo, um dep\303\263sito de um saque ao mesmo tempo pode resultar em um resultado l\303\255quido positivo se o dep\303\263sito for maior, ou em um resultado negativo se o saque for maior. Experimente isso, sacando ou depositando um mesmo n\303\272mero: (123) + (-456);(-123) + (456);
Perceba que os n\303\272meros negativos t\303\252m uma propriedade reversa quando se trata de grandeza . O n\303\272mero 3 \303\251 menor que 4, mas -3 \303\251 maior que -4. Isso \303\251 porque \303\251 melhor ter R$ 4 no banco do que R$ 3, e tamb\303\251m \303\251 melhor dever apenas R$ 3 do que dever R$ 4.3 < 4 ; -3 > -4;<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8"> 4. N\303\272meros Racionais</Font></Text-field>
Os matem\303\241ticos definem os n\303\272meros racionais como todas as fra\303\247\303\265es dos inteiros onde o denominador n\303\243o seja zero.
Q := { a/b };`\134nN\303\272meros Racionais ` = [ seq( seq( i/j, i = 1..j-1), j = 1..10)];
Convertendo N\303\272meros Racionais para Decimais
Curiosamente, todos os n\303\272meros racionais podem ser expressos na forma de decimais. Alguns n\303\272meros possuem decimais exatos ... em outras palavras, s\303\243o decimais terminados em zero. S\303\243o aqueles cujos quocientes s\303\243o pot\303\252ncias de 2 e de 5. 1/64: % = evalf(%,70);1/625: % = evalf(%,70);1/2500: % = evalf(%,70);
Existem outros tipos de n\303\272meros racionais que possuem repeti\303\247\303\265es infinitas de n\303\272meros ou d\303\255gitos. Voc\303\252 sabe dizer quantos d\303\255gitos existem nos decimais seguintes?
2/3: % = evalf(%,70);1/14: % = evalf(%,70);10/13: % = evalf(%,70);5/39: % = evalf(%,70);8/19: % = evalf(%,70);
Convertendo N\303\272meros Racionais para Decimais
N\303\243o \303\251 \303\263bvio, mas TODOS os n\303\272meros com uma seq\303\274\303\252ncia repetida de d\303\255gitos s\303\243o n\303\272meros racionais. E isso significa que podem ser expressos em forma de fra\303\247\303\243o.
Exemplo 1 : LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkjbW5HRiQ2JFFobjQuNTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODA5NTIzODFGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRidGLw==Mist\303\251rio := evalf( 95/21, 60);
Consideremos um per\303\255odo de seis d\303\255gitos repetidos. Entretanto, no lugar de adivinhar a fra\303\247\303\243o, desejamos encontr\303\241-la. Para isto, suponha a rela\303\247\303\243o :A := round(Mist\303\251rio*10^6 - Mist\303\251rio);
Note que esse inteiro encontrado \303\251 igual a (10^6 - 1) vezes o n\303\272mero original S. Assim podemos, solucionar por S, como o quociente de dois inteiros :S*10^n - S = S*(10^n - 1);
a = S*(10^n - 1); solve(%,S);
Finalmente, baseando-se nesta rela\303\247\303\243o encontrada vamos reencontrar a fra\303\247\303\243o original.A/(10^6 - 1);`Conferindo : `,% = evalf( %, 40);
Vamos tentar outro exemplo : Example 2 : LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkjbW5HRiQ2JFFobjAuMjI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjcyNzI3MjdGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRidGLw==
Este tem um per\303\255odo de repeti\303\247\303\243o de apenas dois d\303\255gitos. Entretanto, \303\251 um pouco mais complicado.
Mist\303\251rio := evalf( 19/22, 60);A := round(Mist\303\251rio*10^4 - Mist\303\251rio*10^2);S = A/(10^4 - 10^2);<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8"> 5. N\303\272meros Reais</Font></Text-field>
Os n\303\272meros reais incluem tanto os n\303\272meros racionais quanto os n\303\272meros irracionais. Os n\303\272meros irracionais n\303\243o podem ser expressados em fra\303\247\303\243o. Vejamos alguns exemplos. Voc\303\252 pode tentar encontrar decimais repetidos se quiser, mas n\303\243o desperdice muito tempo:
Pi: % = evalf(%,1000);sqrt(2): % = evalf(%,500);sqrt(Pi): % = evalf(%,500);exp(1): % = evalf(%,500);sqrt( 2 + sqrt( 1 + sqrt( 3))); % = evalf(%,500);2^(1/3); % = evalf(%,500);1/(Pi + sqrt(5) + exp(1)); % = evalf(%,500);<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8"> 6. Propriedades dos N\303\272meros</Font></Text-field>
H\303\241 uma s\303\251rie de propriedades dos n\303\272meros reais que sustentam tudo o que fazemos na Matem\303\241tica.
1. Propriedades Identidades
Para as opera\303\247\303\265es de adi\303\247\303\243o e multiplica\303\247\303\243o, existem n\303\272meros especiais que s\303\243o identidades: N\303\243o se transformam outros n\303\272meros. A identidade para a adi\303\247\303\243o \303\251 0 e para a multiplica\303\247\303\243o \303\251 1.a + 0; 0 + a; 0 + 12324;a*1; 1*a;; 1* 12324;
2. Propriedade Inversa
Tanto na adi\303\247\303\243o quanto na multiplica\303\247\303\243o, cada n\303\272mero tem um inverso - um n\303\272mero que elimina o n\303\272mero original e o transforma no seu sim\303\251trico. O inverso de a na adi\303\247\303\243o \303\251 -a, e o inverso de a (diferente de zero) na multiplica\303\247\303\243o \303\251 1/a.a + (-a); 3 + (-3); (324234/2306491) + (-324234/2306491);a*(1/a); 234 * (1/234); (345/671) * (671/345);
3. Propriedade Associativa
Os n\303\272meros tamb\303\251m podem se associar sem trocar o resultado final. 3 + ( 4 + 5); (3 + 4) + 5;50723423 + ( 1812388 + 99993211 );
( 50723423 + 1812388 ) + 99993211 ;3 + ( 4 + 5); (3 + 4) + 5;50723423 * ( 1812388 * 99993211 );
( 50723423 * 1812388 ) *99993211 ;
4. Propriedade Comutativa
Outra propriedade est\303\241 em poderem comutar. a + b = b + a;79234091912091147546 + 4856765464338;
4856765464338 + 79234091912091147546;a * b = b* a;1299934 * 3692010; 3692010*1299934;
5. Propriedade Distributiva
Esta \303\251 a \303\272nica propriedade que envolve as duas opera\303\247\303\265es ao mesmo tempo. Todas as regras anteriores envolvem a adi\303\247\303\243o ou a multiplica\303\247\303\243o, mas n\303\243o juntas.a*(b+c) = a*b + a*c;7105871 * ( 10344392 + 47183017439 );
( 7105871 * 10344392) + (7105871 * 47183017439 );(10000)*(333*x + 777777);