<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">0. C\303\263digos</Text-field>

17-Racionalizando

Denominadores

Vamos estudar como remover termos com radicais nos denominadores das express\303\265es

restart;

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">1. Diferen\303\247a de quadrados e N\303\272meros conjugados</Text-field>

Vamos examinar novamente a id\303\251ia da f\303\263rmula chamada "Diferen\303\247a de quadrados" ou "Produto da soma e da diferen\303\247a dos mesmos termos ".

(a+b)*(a-b): % = expand(%);

NiMvKiYsJiUiYUciIiIlImJHIiIiIiIiLCYlImFHIiIiJSJiRyEiIiIiIiwmKiQpJSJhRyIiIyIiIiIiIiokKSUiYkciIiMiIiIhIiI=

(x+7)*(x-7): % = expand(%);

NiMvKiYsJiUieEciIiIiIigiIiIiIiIsJiUieEciIiIiIighIiIiIiIsJiokKSUieEciIiMiIiIiIiIiI1whIiI=

(5*x+14)*(5*x-14): % = expand(%);

NiMvKiYsJiomIiImIiIiJSJ4RyIiIiIiIiIjOSIiIiIiIiwmKiYiIiYiIiIlInhHIiIiIiIiIiM5ISIiIiIiLCYqJiIjRCIiIiklInhHIiIjIiIiIiIiIiQnPiEiIg==

(331*x + 214)*(331*x - 214): % = expand(%);

NiMvKiYsJiomIiRKJCIiIiUieEciIiIiIiIiJDkjIiIiIiIiLCYqJiIkSiQiIiIlInhHIiIiIiIiIiQ5IyEiIiIiIiwmKiYiJ2gmNCIiIiIpJSJ4RyIiIyIiIiIiIiImJ3pYISIi

Temos um padr\303\243o aqui. Sempre que multiplicamos dois bin\303\264mios que sejam id\303\252nticos a n\303\243o ser pelo sinal do meio sendo oposto, temos o mesmo resultado. Apesar de esses dois termos n\303\243o serem exatamente os mesmos, eles formam um par, que chamamos de "n\303\272meros conjugados". Um \303\251 conjugado ao outro e vice-versa.

3*x + 5; Conjugado = op(1,%) - op(2,%);

NiMsJiomIiIkIiIiJSJ4RyIiIiIiIiIiJiIiIg==

NiMvJSpDb25qdWdhZG9HLCYqJiIiJCIiIiUieEciIiIiIiIiIiYhIiI=

3*x - 5; Conjugado = op(1,%) - op(2,%);

NiMsJiomIiIkIiIiJSJ4RyIiIiIiIiIiJiEiIg==

NiMvJSpDb25qdWdhZG9HLCYqJiIiJCIiIiUieEciIiIiIiIiIiYiIiI=

70*x - 3*sqrt(19); Conjugado = op(1,%) - op(2,%);

NiMsJiomIiNxIiIiJSJ4RyIiIiIiIiomIiIkIiIiKSIjPiMiIiIiIiMiIiIhIiI=

NiMvJSpDb25qdWdhZG9HLCYqJiIjcSIiIiUieEciIiIiIiIqJiIiJCIiIikiIz4jIiIiIiIjIiIiIiIi

100 + sqrt(5)*x; Conjugado = op(1,%) - op(2,%);

NiMsJiIkKyIiIiIqJikiIiYjIiIiIiIjIiIiJSJ4RyIiIiIiIg==

NiMvJSpDb25qdWdhZG9HLCYiJCsiIiIiKiYpIiImIyIiIiIiIyIiIiUieEciIiIhIiI=

Quando aplicados a termos com ra\303\255zes quadradas, os n\303\272meros conjugados apresentam resultados assombrosos - resultam em express\303\265es sem radical!

(sqrt(15) + sqrt(11))*(sqrt(15) - sqrt(11)): % = expand(%);

NiMvKiYsJiokKSIjOiMiIiIiIiMiIiIiIiIqJCkiIzYjIiIiIiIjIiIiIiIiIiIiLCYqJCkiIzojIiIiIiIjIiIiIiIiKiQpIiM2IyIiIiIiIyIiIiEiIiIiIiIiJQ==

(sqrt(96) + 3*sqrt(19))*(sqrt(96) - 3*sqrt(19)): % = expand(%);

NiMvKiYsJiomIiIlIiIiKSIiJyMiIiIiIiMiIiIiIiIqJiIiJCIiIikiIz4jIiIiIiIjIiIiIiIiIiIiLCYqJiIiJSIiIikiIicjIiIiIiIjIiIiIiIiKiYiIiQiIiIpIiM+IyIiIiIiIyIiIiEiIiIiIiEjdg==

( 11 + sqrt(37))*( 11 - sqrt(37)): % = expand(%);

NiMvKiYsJiIjNiIiIiokKSIjUCMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIsJiIjNiIiIiokKSIjUCMiIiIiIiMiIiIhIiIiIiIiIyUp

(7*sqrt(30) + sqrt(210))*(7*sqrt(30) - sqrt(210)): % = expand(%);

NiMvKiYsJiomIiIoIiIiKSIjSSMiIiIiIiMiIiIiIiIqJCkiJDUjIyIiIiIiIyIiIiIiIiIiIiwmKiYiIigiIiIpIiNJIyIiIiIiIyIiIiIiIiokKSIkNSMjIiIiIiIjIiIiISIiIiIiIiVnNw==

Isso sempre funciona. Logo, pode ser um truque \303\272til.

( sqrt(a) + sqrt(b) ) * ( sqrt(a) - sqrt(b) ): % = expand(%);

NiMvKiYsJiokKSUiYUcjIiIiIiIjIiIiIiIiKiQpJSJiRyMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIsJiokKSUiYUcjIiIiIiIjIiIiIiIiKiQpJSJiRyMiIiIiIiMiIiIhIiIiIiIsJiUiYUciIiIlImJHISIi

( c*sqrt(a) + d*sqrt(b) ) * ( c*sqrt(a) - d*sqrt(b) ): % = expand(%);

NiMvKiYsJiomJSJjRyIiIiklImFHIyIiIiIiIyIiIiIiIiomJSJkRyIiIiklImJHIyIiIiIiIyIiIiIiIiIiIiwmKiYlImNHIiIiKSUiYUcjIiIiIiIjIiIiIiIiKiYlImRHIiIiKSUiYkcjIiIiIiIjIiIiISIiIiIiLCYqJiklImNHIiIjIiIiJSJhRyIiIiIiIiomKSUiZEciIiMiIiIlImJHIiIiISIi

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">2. Denominadores com Um Radical - Raiz Quadrada</Text-field>

Agora vejamos express\303\265es fracion\303\241rias com ra\303\255zes quadradas em seus denominadores. Essas express\303\265es n\303\243o s\303\243o consideradas boas para trabalhar e precisam ser simplificadas. [ Observa\303\247\303\243o: O Maple \303\251 t\303\243o vers\303\241til que pode racionalizar esses problemas automaticamente. Apenas digitando a express\303\243o e executando-a, o Maple pode racionaliza-la sem instru\303\247\303\265es. Entretanto, o nosso foco aqui \303\251 enteder o processo de racionaliza\303\247\303\243o em si. Isso precisa do acompanhamento de um trabalho de quadro para demonstrarmos o m\303\251todo mais detalhadamente.]

1/sqrt(7);

NiMsJComIiIoISIiKSIiKCMiIiIiIiMiIiIiIiI=

denominador := sqrt(7);

NiM+JSxkZW5vbWluYWRvckcqJCkiIigjIiIiIiIjIiIi

Podemos racionalizar o denominador simplesmente multiplicando-o pela mesma raiz quadrada novamente.

denominador * denominador;

NiMiIig=

Vejamos outro exemplo.

1/(2*sqrt(11));

NiMsJComIiNBISIiKSIjNiMiIiIiIiMiIiIiIiI=

denominador := 2*sqrt(11);

NiM+JSxkZW5vbWluYWRvckcsJComIiIjIiIiKSIjNiMiIiIiIiMiIiIiIiI=

Podemos usar o mesmo truque novamente ... multiplicando o denominador em cima e em baixo... e funciona.

denominador * (2*sqrt(11));

NiMiI1c=

Por\303\251m, n\303\243o \303\251 preciso tanto. O 2 do denominador j\303\241 \303\251 um n\303\272mero racional, logo n\303\243o havia necessidade de multiplicar por ele. A \303\272nica parte "perigosa" do denominador \303\251 a raiz quadrada de 11. Ent\303\243o, multiplicando por essa raiz quadrada, n\303\263s mantemos os n\303\272meros menores e temos uma multiplica\303\247\303\243o mais simples que acarreta menos simplifica\303\247\303\265es no futuro.

denominador * sqrt(11);

NiMiI0E=

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">3. Denominadores com Um Radical - Ra\303\255zes maiores</Text-field>

Examplo 3.1 : Vejamos esse tipo de problemaLUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkmbWZyYWNHRiQ2KC1GIzYkLUkjbW5HRiQ2JFEiMUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdub3JtYWxGJ0Y0LUYjNiQtSSVtc3VwR0YkNiUtRjE2JFEiNUYnRjQtRiw2KEYuLUYjNiQtRjE2JFEiM0YnRjRGNC8lLmxpbmV0aGlja25lc3NHRjMvJStkZW5vbWFsaWduR1EnY2VudGVyRicvJSludW1hbGlnbkdGSi8lKWJldmVsbGVkR1EmZmFsc2VGJy8lMXN1cGVyc2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGNEZGRkhGS0ZNRjQ=. Aqui est\303\241 o denominador. Mas se tentarmos aquele truque de multiplicar pela mesma raiz novamente, n\303\243o terminaremos com uma express\303\243o sem raiz.

denominador := 5^(1/3);

NiM+JSxkZW5vbWluYWRvckcqJCkiIiYjIiIiIiIkIiIi

denominador * 5^(1/3);

NiMqJCkiIiYjIiIjIiIkIiIi

A chave para tirar o cubo, \303\251 um cubo. Se temos um cinco debaixo do radical, quantos mais cincos precisamos para obtermos um total de tr\303\252s cincos?

denominador * (5^2)^(1/3): % = simplify(%);

NiMvKiYpIiImIyIiIiIiJCIiIikiI0QjIiIiIiIkIiIiIiIm

esse \303\251 o truque! Multiplicar em cima e em baixo pela raiz c\303\272bica de (5^2) - n\303\243o pela raiz c\303\272bica de cinco!

1/(5^(1/3));

NiMsJComIiImISIiKSIiJiMiIiMiIiQiIiIiIiI=

Vejamos outro exemplo: Examplo 3.2 : Racionalize o denominador de LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1cEdGJDYlLUkobWZlbmNlZEdGJDYkLUYjNiQtSSZtZnJhY0dGJDYoLUYjNiQtSSNtbkdGJDYkUSIzRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ25vcm1hbEYnRjwtRiM2JC1GOTYkUSI0RidGPEY8LyUubGluZXRoaWNrbmVzc0dRIjFGJy8lK2Rlbm9tYWxpZ25HUSdjZW50ZXJGJy8lKW51bWFsaWduR0ZJLyUpYmV2ZWxsZWRHUSZmYWxzZUYnRjxGPC1GNDYoLUYjNiQtRjk2JEZGRjxGPEY2RkRGR0ZKRkwvJTFzdXBlcnNjcmlwdHNoaWZ0R1EiMEYnRjw=. Isso \303\251 o mesmo que a raiz c\303\272bica de 3 dividida pela raiz c\303\272bica de 4.

denominador := 4 ^ (1/3);

NiM+JSxkZW5vbWluYWRvckcqJCkiIiUjIiIiIiIkIiIi

Queremos racionalizar a raiz c\303\272bica de 4. Mas quatro j\303\241 \303\251 um quadrado. Ent\303\243o temos a raiz c\303\272bica de dois ao quadrado. Se temos dois 2, de quantos mais precisamos para termos tr\303\252s? S\303\263 um.

denominador * 2 ^ (1/3): % = simplify(%);

NiMvKiYpIiIlIyIiIiIiJCIiIikiIiMjIiIiIiIkIiIiIiIj

Ent\303\243o o m\303\251todo aqui \303\251 multiplicar tanto em cima quanto em baixo pela raiz c\303\272bica de 2.

(3/4)^(1/3);

NiMsJCooIiIlISIiKSIiJCMiIiIiIiQiIiIpIiIlIyIiIyIiJCIiIiIiIg==

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">4. Denominadores com Dois Termos</Text-field>

Por que precisamos racionalizar express\303\265es com radicais? Observe essas tr\303\252s diferentes express\303\265es com radicais. Todas se apresentam bem diferentes. Entretanto, veja esses valores decimais. Quem diria?... eles s\303\243o todos iguais! Tendo uma maneira consistente de simplificar essas express\303\265es, elas aparecer\303\243o da mesma forma. e podem ser comparadas e provadas iguais com maior facilidade.

A:= (sqrt(2) + sqrt(6) )/ sqrt(3): % = evalf(%); B:= sqrt(2/3) + sqrt(2) : % = evalf(%); C:= -4/(sqrt(6) - sqrt(18)) : % = evalf(%);

NiMvLCQqKCIiJCEiIiwmKiQpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIiokKSIiJyMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIpIiIkIyIiIiIiIyIiIiIiIiQiK1YscklBISIq

NiMvLCYqJiIiJCEiIikiIicjIiIiIiIjIiIiIiIiKiQpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIiQiK1YscklBISIq

NiMvLCQqJiIiJSIiIiwmKiQpIiInIyIiIiIiIyIiIiIiIiomIiIkIiIiKSIiIyMiIiIiIiMiIiIhIiIhIiIhIiIkIitYLHJJQSEiKg==

Temos aqui algumas express\303\265es tipicas:

A := 1/(1 + sqrt(2));

NiM+JSJBRyomIiIiIiIiLCYiIiIiIiIqJCkiIiMjIiIiIiIjIiIiIiIiISIi

B := sqrt(14)/(sqrt(7) - sqrt(2));

NiM+JSJCRyomKSIjOSMiIiIiIiMiIiIsJiokKSIiKCMiIiIiIiMiIiIiIiIqJCkiIiMjIiIiIiIjIiIiISIiISIi

C := 1/(10 - 3*sqrt(29) );

NiM+JSJDRyomIiIiIiIiLCYiIzUiIiIqJiIiJCIiIikiI0gjIiIiIiIjIiIiISIiISIi

\303\251 aqui que vamos usar o m\303\251todo da diferen\303\247a dos quadrados que estudamos anteriormente. Podemos racionalizar qualquer um desses denominadores multiplicando em cima e em baixo pelo n\303\272mero conjugado do denominador. Vamos examinar isso para cada um dos casos.

denom(A): `denominador` = %; conjugado := op(1,%%) - op(2,%%); denom(A)*conjugate_multiplier : % = expand(%); expand( numer(A)*conjugate_multiplier ) / expand(denom(A)*conjugate_multiplier): A = %;

NiMvKiQpIiIlIyIiIiIiJCIiIiwmIiIiIiIiKiQpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIg==

NiM+JSpjb25qdWdhZG9HLCYiIiIiIiIqJCkiIiMjIiIiIiIjIiIiISIi

NiMvKiYsJiIiIiIiIiokKSIiIyMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIiwmJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIqJiU1Y29uanVnYXRlX211bHRpcGxpZXJHIiIiKSIiIyMiIiIiIiMiIiIiIiI=

NiMvKiYiIiIiIiIsJiIiIiIiIiokKSIiIyMiIiIiIiMiIiIiIiIhIiIqJiU1Y29uanVnYXRlX211bHRpcGxpZXJHIiIiLCYlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIiomJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIiEiIg==

denom(B): `o denominador` = %; m\303\272ltiplos_conjugados := op(1,%%) - op(2,%%); denom(B)*conjugate_multiplier : % = expand(%); expand( numer(B)*conjugate_multiplier ) / expand(denom(B)*conjugate_multiplier): B = %;

NiMvJS5vfmRlbm9taW5hZG9yRywmKiQpIiIoIyIiIiIiIyIiIiEiIiokKSIiIyMiIiIiIiMiIiIiIiI=

NiM+JTdtfGp5fGp2fGh2bHRpcGxvc19jb25qdWdhZG9zRywmKiQpIiIoIyIiIiIiIyIiIiEiIiokKSIiIyMiIiIiIiMiIiIhIiI=

NiMvKiYsJiokKSIiKCMiIiIiIiMiIiIhIiIqJCkiIiMjIiIiIiIjIiIiIiIiIiIiJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIsJiomJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIpIiIoIyIiIiIiIyIiIiEiIiomJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIg==

NiMvKiYpIiM5IyIiIiIiIyIiIiwmKiQpIiIoIyIiIiIiIyIiIiIiIiokKSIiIyMiIiIiIiMiIiIhIiIhIiIsJCooKSIjOSMiIiIiIiMiIiIlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIiwmKiYlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIikiIigjIiIiIiIjIiIiISIiKiYlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIikiIiMjIiIiIiIjIiIiIiIiISIiISIi

denom(C): `o denominador` = %; m\303\272ltiplo_conjugado := op(1,%%) - op(2,%%); denom(C)*conjugate_multiplier : % = expand(%); expand( numer(C)*conjugate_multiplier ) / expand(denom(C)*conjugate_multiplier): C = %;

NiMvJS5vfmRlbm9taW5hZG9yRywmIiM1ISIiKiYiIiQiIiIpIiNIIyIiIiIiIyIiIiIiIg==

NiM+JTVtfGp5fGp2fGh2bHRpcGxvX2Nvbmp1Z2Fkb0csJiIjNSEiIiomIiIkIiIiKSIjSCMiIiIiIiMiIiIhIiI=

NiMvKiYsJiIjNSEiIiomIiIkIiIiKSIjSCMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIiwmKiYiIzUiIiIlNWNvbmp1Z2F0ZV9tdWx0aXBsaWVyRyIiIiEiIiooIiIkIiIiJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIpIiNIIyIiIiIiIyIiIiIiIg==

NiMvKiYiIiIiIiIsJiIjNSIiIiomIiIkIiIiKSIjSCMiIiIiIiMiIiIhIiIhIiIsJComJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIsJiomIiM1IiIiJTVjb25qdWdhdGVfbXVsdGlwbGllckciIiIhIiIqKCIiJCIiIiU1Y29uanVnYXRlX211bHRpcGxpZXJHIiIiKSIjSCMiIiIiIiMiIiIiIiIhIiIhIiI=

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">5. Denominadores Com Tr\303\252s Termos [Opcional]</Text-field>

[esta se\303\247\303\243o \303\251 opcional - n\303\243o \303\251 parte integrante do curr\303\255culo. Entretanto, com a for\303\247a dos talentos alg\303\251bricos do Maple para facilitar o trabalho das computa\303\247\303\265es alg\303\251bricas, podemos explorar esse t\303\263pico com o qual talvez nunca queiramos lidar em sala de aula.] A. M\303\251todo de dois Passos Divida tr\303\252s termos do denominador em dois grupos - um com dois termos e o outro com um termo.

Expr := 1/( 11 + 2*sqrt(7) - 4*sqrt(3) );

NiM+JSVFeHByRyomIiIiIiIiLCgiIzYiIiIqJiIiIyIiIikiIigjIiIiIiIjIiIiIiIiKiYiIiUiIiIpIiIkIyIiIiIiIyIiIiEiIiEiIg==

Podemos pensar nesses denominadores como 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, e multiplic\303\241-los pelo n\303\272mero conjugado, 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.

Multiplicando := 11 + 2*sqrt(7) + 4*sqrt(3);

NiM+JS5NdWx0aXBsaWNhbmRvRywoIiM2IiIiKiYiIiMiIiIpIiIoIyIiIiIiIyIiIiIiIiomIiIlIiIiKSIiJCMiIiIiIiMiIiIiIiI=

expand(numer(Expr)*Multiplicando) / expand(denom(Expr)*Multiplicando): Expr = %; S := simplify(%%): S;

NiMvKiYiIiIiIiIsKCIjNiIiIiomIiIjIiIiKSIiKCMiIiIiIiMiIiIiIiIqJiIiJSIiIikiIiQjIiIiIiIjIiIiISIiISIiKiYsKCIjNiIiIiomIiIjIiIiKSIiKCMiIiIiIiMiIiIiIiIqJiIiJSIiIikiIiQjIiIiIiIjIiIiIiIiIiIiLCYiJCwiIiIiKiYiI1ciIiIpIiIoIyIiIiIiIyIiIiIiIiEiIg==

NiMqJiwoIiM2IiIiKiYiIiMiIiIpIiIoIyIiIiIiIyIiIiIiIiomIiIlIiIiKSIiJCMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIsJiIkLCIiIiIqJiIjVyIiIikiIigjIiIiIiIjIiIiIiIiISIi

agora multiplicamos em cima e em baixo pelo n\303\272mero conjugado desse novo denominador.

Multiplicando := 101 - 44*sqrt(7);

NiM+JS5NdWx0aXBsaWNhbmRvRywmIiQsIiIiIiomIiNXIiIiKSIiKCMiIiIiIiMiIiIhIiI=

O resultado \303\251 uma express\303\243o, n\303\243o muito bonita, mas que n\303\243o sofre a interfer\303\252ncia de nenhum denominador irracional. em outras palavras, n\303\263s conseguimos!

simplify( expand(numer(S)*Multiplicando) / expand(denom(S)*Multiplicando) );

NiMsKiMiJGwiIiU8NiEiIiooIiMlKiIiIiIlPDYhIiIpIiIoIyIiIiIiIyIiIiIiIiooIiQvJSIiIiIlXkwhIiIpIiIkIyIiIiIiIyIiIiEiIioqIiR3IiIiIiIlXkwhIiIpIiIoIyIiIiIiIyIiIikiIiQjIiIiIiIjIiIiIiIi

Tamb\303\251m \303\251 poss\303\255vel faz\303\252-lo em um passo. B. O M\303\251todo do Fator Racionalizante - (Rationalizing Factor Method) Quando racionalizamos um denominador com dois termos, multiplicamos em cima e em baixo por uma s\303\263 express\303\243o. Existe uma express\303\243o assim para uma express\303\243o de tr\303\252s termos? Vamos tentar a escolha \303\263bvia...

(a + b + c)*(a - b - c): % = expand(%);

NiMvKiYsKCUiYUciIiIlImJHIiIiJSJjRyIiIiIiIiwoJSJhRyIiIiUiYkchIiIlImNHISIiIiIiLCoqJCklImFHIiIjIiIiIiIiKiQpJSJiRyIiIyIiIiEiIiooIiIjIiIiJSJiRyIiIiUiY0ciIiIhIiIqJCklImNHIiIjIiIiISIi

Se b ou c fossem radicais, ent\303\243o a express\303\243o resultante ainda teria radicais. A \303\272nica maneira de eliminar todos os radicais \303\251 chegar a uma express\303\243o onde todos os termos sejam quadrados. Vamos tentar isso.

(a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c): % = sort(expand(%),[a,b,c]);

NiMvKiosKCUiYUciIiIlImJHIiIiJSJjRyIiIiIiIiwoJSJhRyIiIiUiYkciIiIlImNHISIiIiIiLCglImFHIiIiJSJiRyEiIiUiY0ciIiIiIiIsKCUiYUciIiIlImJHISIiJSJjRyEiIiIiIiwuKiQpJSJhRyIiJSIiIiIiIiooIiIjIiIiKSUiYUciIiMiIiIpJSJiRyIiIyIiIiEiIiooIiIjIiIiKSUiYUciIiMiIiIpJSJjRyIiIyIiIiEiIiokKSUiYkciIiUiIiIiIiIqKCIiIyIiIiklImJHIiIjIiIiKSUiY0ciIiMiIiIhIiIqJCklImNHIiIlIiIiIiIi

Funciona! Todos os termos s\303\243o quadrados ou pont\303\252ncias de quatro. Vamos tentar usar isso.

Expr := 1/( 3 + sqrt(5) - sqrt(7));

NiM+JSVFeHByRyomIiIiIiIiLCgiIiQiIiIqJCkiIiYjIiIiIiIjIiIiIiIiKiQpIiIoIyIiIiIiIyIiIiEiIiEiIg==

Multiplicando := ( 3 + sqrt(5) + sqrt(7)) * ( 3 - sqrt(5) + sqrt(7)) * ( 3 - sqrt(5) - sqrt(7));

NiM+JS5NdWx0aXBsaWNhbmRvRyooLCgiIiQiIiIqJCkiIiYjIiIiIiIjIiIiIiIiKiQpIiIoIyIiIiIiIyIiIiIiIiIiIiwoIiIkIiIiKiQpIiImIyIiIiIiIyIiIiEiIiokKSIiKCMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIsKCIiJCIiIiokKSIiJiMiIiIiIiMiIiIhIiIqJCkiIigjIiIiIiIjIiIiISIiIiIi

`o denominador racionalizado` = expand( denom(Expr)*Multiplicando ); expand( numer(Expr)*Multiplicando) / expand( denom(Expr)*Multiplicando ): Expr = expand(%);

NiMvJTxvfmRlbm9taW5hZG9yfnJhY2lvbmFsaXphZG9HIiRKIg==

NiMvKiYiIiIiIiIsKCIiJCIiIiokKSIiJiMiIiIiIiMiIiIiIiIqJCkiIigjIiIiIiIjIiIiISIiISIiLCojIiIqIiRKIiIiIiooIiM2IiIiIiRKIiEiIikiIiYjIiIiIiIjIiIiIiIiKigiIigiIiIiJEoiISIiKSIiKCMiIiIiIiMiIiIhIiIqKiIiJyIiIiIkSiIhIiIpIiImIyIiIiIiIyIiIikiIigjIiIiIiIjIiIiIiIi

Veja outro exemplo :

Expr := 1/( 14*sqrt(2) - 8*sqrt(11) + 3*sqrt(17));

NiM+JSVFeHByRyomIiIiIiIiLCgqJiIjOSIiIikiIiMjIiIiIiIjIiIiIiIiKiYiIikiIiIpIiM2IyIiIiIiIyIiIiEiIiomIiIkIiIiKSIjPCMiIiIiIiMiIiIiIiIhIiI=

Multiplicando := (14*sqrt(2) + 8*sqrt(11) + 3*sqrt(17)) *(14*sqrt(2) + 8*sqrt(11) - 3*sqrt(17)) *(14*sqrt(2) - 8*sqrt(11) - 3*sqrt(17)) ;

NiM+JS5NdWx0aXBsaWNhbmRvRyooLCgqJiIjOSIiIikiIiMjIiIiIiIjIiIiIiIiKiYiIikiIiIpIiM2IyIiIiIiIyIiIiIiIiomIiIkIiIiKSIjPCMiIiIiIiMiIiIiIiIiIiIsKComIiM5IiIiKSIiIyMiIiIiIiMiIiIiIiIqJiIiKSIiIikiIzYjIiIiIiIjIiIiIiIiKiYiIiQiIiIpIiM8IyIiIiIiIyIiIiEiIiIiIiwoKiYiIzkiIiIpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIiomIiIpIiIiKSIjNiMiIiIiIiMiIiIhIiIqJiIiJCIiIikiIzwjIiIiIiIjIiIiISIiIiIi

`o denominador racionalizado` = expand( denom(Expr)*Multiplicando ); expand( numer(Expr)*Multiplicando) / expand( denom(Expr)*Multiplicando ): Expr = expand(%);

NiMvJTxvfmRlbm9taW5hZG9yfnJhY2lvbmFsaXphZG9HISdCWUA=

NiMvKiYiIiIiIiIsKComIiM5IiIiKSIiIyMiIiIiIiMiIiIiIiIqJiIiKSIiIikiIzYjIiIiIiIjIiIiISIiKiYiIiQiIiIpIiM8IyIiIiIiIyIiIiIiIiEiIiwqKigiJXFAIiIiIiZUOighIiIpIiIjIyIiIiIiIyIiIiIiIiooIiRDJSIiIiImVDooISIiKSIjNiMiIiIiIiMiIiIiIiIqKCIkVioiIiIiJlQ6KCEiIikiIzwjIiIiIiIjIiIiIiIiKiwiJEMjIiIiIiZUOighIiIpIiIjIyIiIiIiIyIiIikiIzwjIiIiIiIjIiIiKSIjNiMiIiIiIiMiIiIiIiI=