19-Fun\303\247\303\265es & Rela\303\247\303\265es
Estudaremos a defini\303\247\303\243o de uma fun\303\247\303\243o e a conex\303\243o com suas rela\303\247\303\265es, dom\303\255nio e limites, vis\303\265es alg\303\251bricas e num\303\251ricas de fun\303\247\303\265es.
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">0. C\303\263digos</Font></Text-field>restart; with(plots): Dominio := proc( SET )
local domain, k;
domain := {};
for k from 1 to nops(SET) do
domain := domain union {SET[k][1]};
od:
domain;
end proc:Alcance := proc( SET )
local range, k;
range := {};
for k from 1 to nops(SET) do
range := range union {SET[k][2]};
od:
range;
end proc:
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">1. Rela\303\247\303\265es, Dom\303\255nios & Limites</Font></Text-field>
Uma rela\303\247\303\243o \303\251 um par de valores. Uma fun\303\247\303\243o \303\251 um tipo especial de rela\303\247\303\243o onde o primeiro item s\303\263 tem um segundo item equivalente.
cores_de_frutas := { [ma\303\247\303\243,vermelho],[banana,amarelo],[kiwi,verde],
[cereja,vermelho],[lim\303\243o,amarelo],[pera,verde]};
O primeiro elemento de cada par \303\251 uma fruta e o segundo elemento \303\251 a cor da fruta. O conjunto de todas as frutas \303\251 o dom\303\255nio da rela\303\247\303\243o e o conjunto de cores \303\251 o limite.Dominio(fruity_colors);Alcance(fruity_colors);
Vejamos mais alguns exemplos.Times_de_Futebol := { [Rio de Janeiro, Flamengo], [S\303\243o Paulo, Santos],
[Belo Horizonte, Cruzeiro], [Porto Alegre,Gremio],
[Bahia,Vit\303\263ria] };
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);Comidas_t\303\255picas := { [America, cachorro-quente], [Mexico, Taco],
[Jap\303\243o, Sushi], [India,Naan],[Oriente_M\303\251dio,felafel],
[Brazil,Bife com Fritas] };
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);
Logicamente, tamb\303\251m podemos ter rela\303\247\303\265es com n\303\272meros :arrumando_n\303\272meros := { seq([k, k^2], k = 1..9) };
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);arrumando_n\303\272meros := { seq([(k-2)^2, (k-4)^2], k = 1..7) };
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">2. Fun\303\247\303\265es & Rela\303\247\303\265es</Font></Text-field>
Uma rela\303\247\303\243o \303\251 qualquer par de valores. Uma fun\303\247\303\243o \303\251 um tipo especial de correspond\303\252ncia (rela\303\247\303\243o) onde cada item selecionado num lado possui uma s\303\263 rela\303\247\303\243o com o segundo lado. O conjunto de cores das frutas \303\251 uma fun\303\247\303\243o porque para cada fruta est\303\241 associado somente uma cor - mesmo que alguma fruta tenha a mesma cor de outra fruta.
cores_de_fruta := { [ma\303\247\303\243,vermelho],[banana,amarelo],[kiwi,verde],
[cereja,vermelho],[lim\303\243o,amarelo],[pera,verde]};
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);No pr\303\263ximo caso, estudaremos quando alguns dos valores do dom\303\255nio t\303\252m mais do que um valor de alcance. Logo isso N\303\203O \303\251 uma fun\303\247\303\243o.Pa\303\255ses_e_cidades := { [Canada, Toronto], [Canada, Montreal], [EUA, Nova_York],
[ EUA, Los_Angeles], [Mexico, Guadalajara], [Jap\303\243o, Osaka],
[ Jap\303\243o, Tokyo], [Russia, Moscou], [India, Bombay],
[India, Delhi]};
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);
Observe bem esses conjuntos de n\303\272meros. No primeiro conjunto, cada valor de x tem apenas um valor de y. Mas isso n\303\243o acontece no segundo exemplo. Uma fun\303\247\303\243o \303\251 uma rela\303\247\303\243o pela qual cada membro do dom\303\255nio est\303\241 apenas associado a um membro do limite. Logo, o primeiro conjunto \303\251 uma fun\303\247\303\243o, enquanto o segundo n\303\243o \303\251.ajustando_n\303\272meros := { seq([k, k^2], k = 1..9) };
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);ajustando_n\303\272meros := { seq([(k-3)^2, (k-5)^2], k = 1..7) };
`\134n dom\303\255nio `= Dominio(%);
`\134n alcance ` = Alcance(%%);<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">3. Fun\303\247\303\265es como Tabelas</Font></Text-field>
Fun\303\247\303\265es tamb\303\251m podem ser expressas como tabelas de valores. Os valores de x do dom\303\255nio est\303\243o na esquerda e os valores de y do limite est\303\243o na direita.
restart:f:= x -> 100-x^2:
array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..8] );f:= x -> 2*floor(x/2):
array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..8] );f:= x -> 2^x + 1;
array( [[ k, f(k)] $ k = 1..8] );
Os valores n\303\243o s\303\243o necessariamente n\303\272meros inteiros.f:= x -> :
array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..8] );f:= x -> evalf(sin(Pi/(x+3))):
array( [[ k, f(k)] $ k = 1..8] );<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">4. Fun\303\247\303\265es como F\303\263rmulas</Font></Text-field>
A maioria das fun\303\247\303\265es que veremos, por enquanto, podem ser expressas em algum tipo de f\303\263rmula. Nesses casos, h\303\241 uma entrada , x, e um resultado f(x). Para o valor de x, h\303\241 um valor correspondente f(x).
f := x -> 3*x^2 -10*x + 21;
`f(0)` = f(0);
`f(1)` = f(1);
`f(-1)` = f(-1);
`f(10)` = f(10);
`f(100)` = f(100);
`f(10000)` = f(10000);
Fun\303\247\303\265es apresentam-se em todos os tamanhos e formas.f := x -> (x^2 + 11)/(3*x^2 - 9);
`f(0)` = f(0);
`f(1)` = f(1);
`f(-1)` = f(-1);
`f(10)` = f(10);
`f(100)` = f(100);
`f(10000)` = f(10000);f := x -> x - 3/(x^2 + 3);
`f(0)` = f(0);
`f(1)` = f(1);
`f(-1)` = f(-1);
`f(10)` = f(10);
`f(100)` = f(100);
`f(10000)` = f(10000);
As fun\303\247\303\265es tamb\303\251m podem representar f\303\263rmulas cient\303\255ficas assim como fun\303\247\303\265es matem\303\241ticas abstratasGrauscent\303\255grados := F -> (5/9)*(F-32);
Grauscent\303\255grados(0); Grauscent\303\255grados( 212);Metro2Cent\303\255metro := Metro -> Cent\303\255metro * 100;
Metro2Cent\303\255metro(1); Metro2Cent\303\255metro(2.5);
Metro2Cent\303\255metro(6); Gramas2Kg := gramas -> gramas*1000;
Gramas2Kg(3000); Gramas2Kg(10);
Perceba que fun\303\247\303\265es tamb\303\251m podem ser avaliadas como constantes :f := x -> (x+3)/(x-5);
f(6); f(15); f(Q); f(qualquer_valor);f := x -> 100*x^3 + 2000*x + 3000;
f(6); f(15); f(Q); f(qualquer_valor);