<Text-field style="Heading 3" layout="Heading 3">Curva Floco de Neve</Text-field>

A Curva Floco de Neve foi inicialmente descrita por Koch como uma solu\303\247\303\243o afirmativa para o problema da exist\303\252ncia de uma curva cont\303\255nua que n\303\243o possu\303\255sse tangente em nenhum ponto da curva. Esta curva \303\251 determinada pelo limite da sequ\303\252ncia de curvas geradas no procedimento snowflake abaixo. Basta ativar os procedimentos definidos abaixo, e digitar snow(4), para obter-se o formato da curva floco de neve. O primeiro procedimento realiza uma opera\303\247\303\243o b\303\241sica em qualquer segmento, a partir da lista de suas extremidades. Com este procedimento, o segmento de comprimento d \303\251 substitu\303\255do por uma sequ\303\252ncia de quatro segmentos de comprimento d/3, obtido da seguinte forma: a partir da extremidade esquerda do segmento, percorre-se uma dist\303\242ncia igual a d/3 deste segmento, gira-se ent\303\243o 60 graus \303\240 esquerda percorrendo a mesma dist\303\242ncia e, a seguir, gira-se mais 60 graus a direita avan\303\247ando a mesma dist\303\242ncia. Finalmente, gira-se novamente 60 graus \303\240 esquerda percorrendo-se d/3 unidades ao longo do segmento original at\303\251 a extremidade direita. Note que a curva resultante apresenta tr\303\252s pontos onde a tangente n\303\243o existe.

basic := proc(p1,p2) local dx,dy, p3,p4,p5; dx := (p2[1]-p1[1])/3.; dy := (p2[2]-p1[2])/3.; p3 := [p1[1]+dx,p1[2]+dy]; p4 := [p1[1]+2*dx,p1[2]+2*dy]; p5 := [p1[1]+1.5*dx-sqrt(3.)/2*dy, p1[2]+1.5*dy+sqrt(3.)/2.*dx]; p3,p5,p4,p2; end:

Portanto, se utilizarmos, por exemplo, os pontos [0,0], [1,0] em basic, obteremos a seguinte sequ\303\252ncia de n\303\272meros:

basic([0,0],[1,0]);

NiY3JCQiK0xMTExMISM1JCIiIUYoNyQkIisrKysrXUYmJCIrWTh2JylHRiY3JCQiK21tbW1tRiZGJzckIiIiRig=

Note que a extremidade esquerda do segmento orignal n\303\243o se encontra na lista. Isto se deve a raz\303\265es de programa\303\247\303\243o, que tornam-se claras na defini\303\247\303\243o do procedimento flake abaixo. O procedimento flake recebe uma lista de pontos, que representam uma sequ\303\252ncia de segmentos de reta unidos por suas extremidades, e retorna uma lista contendo 4 vezes mais segmentos de reta, onde cada segmento da lista original \303\251 substitu\303\255do por 4 segmentos retornados por basic.

flake := proc(fl) local i,curve; curve := fl[1]; for i from 1 to nops(fl)-1 do curve := curve ,basic(fl[i],fl[i+1] ) ; od end:

A curva floco de neve \303\251 obtida a partir de um tri\303\242ngulo equil\303\241tero inicial.

curve := [[0,0],[1/2,1/2*sqrt(3)],[1,0],[0,0]];

LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSZjdXJ2ZUdGKDcmNyQiIiFGMDckIyIiIiIiIywkKiQiIiRGMkYyNyRGM0YwRi83I0Yu

O segundo est\303\241gio da curva floco de neve pode ser exibido com o comando

plot([flake(curve)],scaling=constrained);

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NiI=

Pode-se definir agora o n-\303\251sima est\303\241gio da curva floco de neve.

snowflake := proc(n) local i,curve,ti; curve := [[0,0],[1/2,1/2*sqrt(3)],[1,0],[0,0]]; for i from 2 to n do curve := [flake(curve)] od; ti := cat(n,`a. etapa da curva floco de neve`); plot(curve,color=black,style = LINE, axes = NONE,scaling = CONSTRAINED,title = ti) end:

snowflake(4);

6--%'CURVESG6#7]w7$$""!!""$""!!""7$$"+_=&=&=!#6$"+(\,v?$!#67$$""!!""$"+$*H+:k!#67$$"+/Pq.P!#6$"+$*H+:k!#67$$"+dbbbb!#6$"+"\/Di*!#67$$"+-Pq.P!#6$"+*f+IG"!#57$$""!!""$"+*f+IG"!#57$$"+[=&=&=!#6$"+\2v.;!#57$$""!!""$"+**3]C>!#57$$"+,Pq.P!#6$"+)*3]C>!#57$$"2'*****Rbbbb&!#=$"+[5DXA!#57$$"+,uS2u!#6$"+(*3]C>!#57$$"+66666!#5$"+)*3]C>!#57$$"+'H'H'H"!#5$"+Z5DXA!#57$$"+66666!#5$"+(>,gc#!#57$$"+#["["["!#5$"+)>,gc#!#57$$"+nmmm;!#5$"+Z8v')G!#57$$"+#["["["!#5$"+)\,v?$!#57$$"+66666!#5$"+(\,v?$!#57$$"+'H'H'H"!#5$"+Z;DGN!#57$$"+66666!#5$"+(z,!\Q!#57$$")uS2u!"*$"+'z,!\Q!#57$$"*cbbb&!#5$"+X;DGN!#57$$"*p.Pq$!#5$"+&z,!\Q!#57$$""!!""$"+&z,!\Q!#57$$"*$=&=&=!#5$"+W>vpT!#57$$""!!""$"+%4-0\%!#57$$"*p.Pq$!#5$"+&4-0\%!#57$$"*abbb&!#5$"+WAD6[!#57$$"*p.Pq$!#5$"+&R-?8&!#57$$""!!""$"+%R-?8&!#57$$"*$=&=&=!#5$"+VDv_a!#57$$""!!""$"+%p-Nx&!#57$$"*p.Pq$!#5$"+&p-Nx&!#57$$"*abbb&!#5$"+WGD%4'!#57$$"*R2uS(!#5$"+$p-Nx&!#57$$"*6666"!"*$"+%p-Nx&!#57$$"+&H'H'H"!#5$"+VGD%4'!#57$$"*6666"!"*$"+%*H+:k!#57$$"+"["["["!#5$"+%*H+:k!#57$$"+mmmm;!#5$"+WJvNn!#57$$"+^=&=&=!#5$"+%*H+:k!#57$$"+AAAAA!#5$"+%*H+:k!#57$$"+Pq.P?!#5$"+XGD%4'!#57$$"+AAAAA!#5$"+&p-Nx&!#57$$"+$f#f#f#!#5$"+&p-Nx&!#57$$"+yxxxF!#5$"+WGD%4'!#57$$"+jH'H'H!#5$"+%p-Nx&!#57$$"+MLLLL!#5$"+%p-Nx&!#57$$"+>&=&=N!#5$"+WGD%4'!#57$$"+MLLLL!#5$"+%*H+:k!#57$$"+/Pq.P!#5$"+$*H+:k!#57$$"+*)))))))Q!#5$"+UJvNn!#57$$"+/Pq.P!#5$"+$H.l0(!#57$$"+MLLLL!#5$"+#H.l0(!#57$$"+>&=&=N!#5$"+TMDxt!#57$$"+MLLLL!#5$"+"f.!)p(!#57$$"+/Pq.P!#5$"+#f.!)p(!#57$$"+*)))))))Q!#5$"+UPv=!)!#57$$"+uS2uS!#5$"+#f.!)p(!#57$$"+XWWWW!#5$"+#f.!)p(!#57$$"*jH'HY!"*$"+TPv=!)!#57$$"2(*****RWWWW%!#<$"**Q]R$)!"*7$$"2.++]"["["[!#<$"+"*Q]R$)!#57$$""&!""$"*/a-m)!"*7$$"+&=&=&=&!#5$"+"*Q]R$)!#57$$"+cbbbb!#5$"**Q]R$)!"*7$$"+r.Pq`!#5$"*u`(=!)!"*7$$"+cbbbb!#5$"*f.!)p(!"*7$$"+Ff#f#f!#5$"*f.!)p(!"*7$$"1,++7666h!#;$"*u`(=!)!"*7$$"+(H'H'H'!#5$"+"f.!)p(!#57$$"+ommmm!#5$"+"f.!)p(!#57$$"+#["["['!#5$"+UMDxt!#57$$"+mmmmm!#5$"*H.l0(!"*7$$"+(H'H'H'!#5$"+"H.l0(!#57$$"+6666h!#5$"+UJvNn!#57$$"+'H'H'H'!#5$"+$*H+:k!#57$$"+nmmmm!#5$"+$*H+:k!#57$$"+#["["['!#5$"+UGD%4'!#57$$"+nmmmm!#5$"+$p-Nx&!#57$$"+Qq.Pq!#5$"+#p-Nx&!#57$$"+BAAAs!#5$"+VGD%4'!#57$$"+3uS2u!#5$"+$p-Nx&!#57$$"+zxxxx!#5$"+$p-Nx&!#57$$"+kH'H'z!#5$"+UGD%4'!#57$$"+yxxxx!#5$"+$*H+:k!#57$$"1,++\"["[")!#;$"+$*H+:k!#57$$"+MLLL$)!#5$"+VJvNn!#57$$"+>&=&=&)!#5$"+%*H+:k!#57$$"**))))))))!"*$"+%*H+:k!#57$$"+0Pq.()!#5$"+VGD%4'!#57$$"**))))))))!"*$"+%p-Nx&!#57$$"+h#f#f#*!#5$"+$p-Nx&!#57$$"+YWWW%*!#5$"+WGD%4'!#57$$"+J'H'H'*!#5$"+&p-Nx&!#57$$"#5!""$"+%p-Nx&!#57$$"+<["[")*!#5$"+VDv_a!#57$$"#5!""$"+%R-?8&!#57$$"+J'H'H'*!#5$"+&R-?8&!#57$$"+YWWW%*!#5$"+WAD6[!#57$$"+J'H'H'*!#5$"+&4-0\%!#57$$"#5!""$"+%4-0\%!#57$$"+<["[")*!#5$"+W>vpT!#57$$"#5!""$"+'z,!\Q!#57$$"+J'H'H'*!#5$"+'z,!\Q!#57$$"+YWWW%*!#5$"+Y;DGN!#57$$"+h#f#f#*!#5$"+&z,!\Q!#57$$"**))))))))!"*$"+&z,!\Q!#57$$"+0Pq.()!#5$"+X;DGN!#57$$"**))))))))!"*$"+'\,v?$!#57$$"+>&=&=&)!#5$"+'\,v?$!#57$$"+MLLL$)!#5$"+Y8v')G!#57$$"+>&=&=&)!#5$"+'>,gc#!#57$$"**))))))))!"*$"+'>,gc#!#57$$"+/Pq.()!#5$"+Z5DXA!#57$$"+*)))))))))!#5$"+)*3]C>!#57$$"*Ef#f#*!"*$"+(*3]C>!#57$$"+WWWW%*!#5$"+[5DXA!#57$$"+H'H'H'*!#5$"+(*3]C>!#57$$"#5!""$"+(*3]C>!#57$$"+;["[")*!#5$"+[2v.;!#57$$"#5!""$"+)f+IG"!#57$$"1,++I'H'H'*!#;$"+)f+IG"!#57$$"+XWWW%*!#5$"+zW]A'*!#67$$"1,++I'H'H'*!#;$"+')H+:k!#67$$"#5!""$"+()H+:k!#67$$"+:["[")*!#5$"+$\,v?$!#67$$"#5!""$""!!""7$$"1,++I'H'H'*!#;$""!!""7$$"+XWWW%*!#5$!+'\,v?$!#67$$"+f#f#f#*!#5$""!!""7$$"+*)))))))))!#5$""!!""7$$"+/Pq.()!#5$!+'\,v?$!#67$$"**))))))))!"*$!+"*H+:k!#67$$"+>&=&=&)!#5$!+#*H+:k!#67$$"+MLLL$)!#5$!+)[/Di*!#67$$"1,++\"["[")!#;$!+#*H+:k!#67$$"+yxxxx!#5$!+$*H+:k!#67$$"+jH'H'z!#5$!+'\,v?$!#67$$"+yxxxx!#5$""!!""7$$"+3uS2u!#5$""!!""7$$"+BAAAs!#5$!+'\,v?$!#67$$"+Pq.Pq!#5$""!!""7$$"+nmmmm!#5$""!!""7$$"+#["["['!#5$!+'\,v?$!#67$$"+nmmmm!#5$!+$*H+:k!#67$$"+'H'H'H'!#5$!+#*H+:k!#67$$"+6666h!#5$!+([/Di*!#67$$"+'H'H'H'!#5$!+)f+IG"!#57$$"+mmmmm!#5$!+)f+IG"!#57$$"+"["["['!#5$!+[2v.;!#57$$"+mmmmm!#5$!+)*3]C>!#57$$"+'H'H'H'!#5$!+)*3]C>!#57$$"+6666h!#5$!+Z5DXA!#57$$"+Ef#f#f!#5$!+(*3]C>!#57$$"+cbbbb!#5$!+(*3]C>!#57$$"+r.Pq`!#5$!+Z5DXA!#57$$"+cbbbb!#5$!+(>,gc#!#57$$"+&=&=&=&!#5$!+'>,gc#!#57$$""&!""$!+Y8v')G!#57$$"2.++]"["["[!#<$!+'>,gc#!#57$$"2(*****RWWWW%!#<$!+'>,gc#!#57$$"*jH'HY!"*$!+Z5DXA!#57$$"+XWWWW!#5$!+(*3]C>!#57$$"+vS2uS!#5$!+(*3]C>!#57$$"**))))))Q!"*$!+Z5DXA!#57$$"+/Pq.P!#5$!+(*3]C>!#57$$"+MLLLL!#5$!+(*3]C>!#57$$"+>&=&=N!#5$!+[2v.;!#57$$"+MLLLL!#5$!+)f+IG"!#57$$"+/Pq.P!#5$!+)f+IG"!#57$$"+*)))))))Q!#5$!*\/Di*!#57$$"+/Pq.P!#5$!+$*H+:k!#67$$"+MLLLL!#5$!+"*H+:k!#67$$"+>&=&=N!#5$!+'\,v?$!#67$$"+MLLLL!#5$""!!""7$$"+kH'H'H!#5$""!!""7$$"+zxxxF!#5$!+'\,v?$!#67$$"+$f#f#f#!#5$""!!""7$$"+BAAAA!#5$""!!""7$$"+Qq.P?!#5$!+'\,v?$!#67$$"+CAAAA!#5$!+"*H+:k!#67$$"+`=&=&=!#5$!+#*H+:k!#67$$"+ommm;!#5$!+)[/Di*!#67$$"+$["["["!#5$!+#*H+:k!#67$$"+76666!#5$!+$*H+:k!#67$$"+(H'H'H"!#5$!+'\,v?$!#67$$"+76666!#5$""!!""7$$"+8uS2u!#6$""!!""7$$"*cbbb&!#5$!+*\,v?$!#67$$"+1Pq.P!#6$""!!""7$$""!!""$""!!""-&%&_AXISG6#"""6&-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$""!!""$""!!""-%*LINESTYLEG6#""!-%*THICKNESSG6#""!-%-TRANSPARENCYG6#$""!!""-&%&_AXISG6#""#6&-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$""!!""$""!!""-%*LINESTYLEG6#""!-%*THICKNESSG6#""!-%-TRANSPARENCYG6#$""!!""-%&TITLEG6$-%)_TYPESETG6#-I#miG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"66QA4a.~etapa~da~curva~floco~de~neve6"/%'familyGQ0Times~New~Roman6"/%%sizeGQ#166"/%%boldGQ&false6"/%'italicGQ%true6"/%*underlineGQ&false6"/%*subscriptGQ&false6"/%,superscriptGQ&false6"/%+foregroundGQ([0,0,0]6"/%+backgroundGQ.[255,255,255]6"/%'opaqueGQ&false6"/%+executableGQ&false6"/%)readonlyGQ&false6"/%)composedGQ&false6"/%*convertedGQ&false6"/%+imselectedGQ&false6"/%,placeholderGQ&false6"/%6selection-placeholderGQ&false6"/%0font_style_nameGQ%Text6"/%,mathvariantGQ'italic6"-%-TRANSPARENCYG6#$""!!""-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$""!!""$""!!""-%&STYLEG6#%%LINEG-%*AXESSTYLEG6#%%NONEG-%(SCALINGG6#%,CONSTRAINEDG-%)_VISIBLEG6#"""-%%ROOTG6'-%)BOUNDS_XG6#$"$5%!""-%)BOUNDS_YG6#$"$!G!""-%-BOUNDS_WIDTHG6#$"%!=$!""-%.BOUNDS_HEIGHTG6#$"%]O!""-%)CHILDRENG6"-%+ANNOTATIONG6'-%)BOUNDS_XG6#$""!!""-%)BOUNDS_YG6#$""!!""-%-BOUNDS_WIDTHG6#$"%+S!""-%.BOUNDS_HEIGHTG6#$"%+S!""-%)CHILDRENG6"G6"

Apresentamos a seguir uma anima\303\247\303\243o da curva floco de neve, que 'aumenta de tamanho' a cada passo. Para uma melhor percep\303\247\303\243o, s\303\243o usados cerca de cinco quadros.

plots[display]([seq(snowflake(i),i=1..5)],insequence=true,axes=none,scaling=constrained);

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Problema: Qual o comprimento da curva floco de neve?

Solu\303\247\303\243o: Antes do c\303\241lculo do comprimento da curva floco de neve, deve-se notar que na primeira etapa, a curva apresenta comprimento LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1GLDYlUSNzMUYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi1RIj1GJy9GOFEnbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRkIvJSlzdHJldGNoeUdGQi8lKnN5bW1ldHJpY0dGQi8lKGxhcmdlb3BHRkIvJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0ZCLyUnYWNjZW50R0ZCLyUnbHNwYWNlR1EsMC4yNzc3Nzc4ZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGUS1JI21uR0YkNiRRIjNGJ0Y+Ris= unidades; na segunda etapa o comprimento da curva \303\251 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 , or 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 ; de forma geral, na n-\303\251sima etapa tem-se o comprimento 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, ou LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1JJW1zdXBHRiQ2JS1JKG1mZW5jZWRHRiQ2JC1GIzYjLUkmbWZyYWNHRiQ2KC1GIzYjLUkjbW5HRiQ2JFEiNEYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdub3JtYWxGJy1GIzYjLUY/NiRRIjNGJ0ZCLyUubGluZXRoaWNrbmVzc0dRIjFGJy8lK2Rlbm9tYWxpZ25HUSdjZW50ZXJGJy8lKW51bWFsaWduR0ZPLyUpYmV2ZWxsZWRHUSZmYWxzZUYnRkItRiM2JS1GLDYlUSJuRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvRkNRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVEoJm1pbnVzO0YnRkIvJSZmZW5jZUdGVC8lKnNlcGFyYXRvckdGVC8lKXN0cmV0Y2h5R0ZULyUqc3ltbWV0cmljR0ZULyUobGFyZ2VvcEdGVC8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRlQvJSdhY2NlbnRHRlQvJSdsc3BhY2VHUSwwLjIyMjIyMjJlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZdcC1GPzYkRkxGQi8lMXN1cGVyc2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRictRmpuNi5RMSZJbnZpc2libGVUaW1lcztGJy8lK2ZvcmVncm91bmRHUShbMCwwLDBdRidGQkZdb0Zfb0Zhb0Zjb0Zlb0Znb0Zpby9GXHBRJjAuMGVtRicvRl9wRlxxLUYsNiVRI3MxRidGWkZnbkYr . Portanto, na n-\303\251sima etapa o comprimento da curva tende a infinito a medida que n aumenta, o que significa que a curva floco de neve \303\251 infinitamente longa.

<Text-field style="Heading 3" layout="Heading 3"><Font encoding="UTF-8">Preenchimento do Espa\303\247o</Font></Text-field>

David Hilbert, em 1891, descreveu uma curva cont\303\255nua limitada pelo quadrado unit\303\241rio! Isto era contr\303\241rio \303\240 intui\303\247\303\243o da \303\251poca, que considererava a extens\303\243o de um caminho como sendo unidimensional. Apresentamos a seguir o procedimento em Maple que aproxima a curva de preenchimento do espa\303\247o, de Hilbert. A aproxima\303\247\303\243o para a defini\303\247\303\243o do procedimento peano (abaixo) \303\251 similar \303\240 aproxima\303\247\303\243o usada para definir a curva floco de neve (acima).

basic := proc(p1,p2,p3) local dx,dy,p4,p5,p6,p7,p8,p9; p4 := .5*(p1+p2); p9 := .5*(p2+p3); p5 := p4+(p2-p9); p6 := p2+(p2-p9); p7 := p2+(p4-p1); p8 := p9+(p4-p1); p4,p5,p6, p2 ,p7,p8,p9, p3 ; end:

peano := proc(fl) local i,cur; cur := [fl[1] ] ; for i from 1 by 2 to nops(fl)-2 do cur := [op(cur),basic( fl[i],fl[i+1],fl[i+2] )] od;

end:

fl := [[0,0],[1,1],[2,0]];

LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSNmbEdGKDclNyQiIiFGMDckIiIiRjI3JCIiI0YwNyNGLg==

for i from 1 to 4 do fl := peano(fl) od: ti := cat(4,`a etapa da curva de Peano`); plot(fl,style=LINE,axes=NONE,title=ti, scaling=CONSTRAINED);

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