Calculo I

Lição 1:  Limite

Nós temos visto que o limte  dá a valor instantâneo da mudança da função  em .  No calculo deste limite, o ponto  é fixo, nós achamos que o quociente de diferença é a função de , e nós perguntamos como isto é possível h é próximo de 0.  Certamente, nós não podemos realmente colocar , para isso o quociente poderia ser indefinido.  Pegando o limite em    não é o mesmo que substituindo . Neste worksheet, nós exploraremos a idéia de limite em uma maneira geral; mais tarde os worksheets, voltará ao tipo especial do limite acima.. Nós dizemos que uma função , definida em um intervalo próximo de um ponto , mas não necessariamente como em si mesmo, tem um limite   limit    com  aproximações , escrevendo

,

se nós podemos fazer  tão próximo de  como gostariamos pegando  suficientemente próximo a (mas não igual a ) .  (Isto é uma boa definição para se começar; nós veremos um ponto mais preciso mais tarde .)

Vamos olhar limites de um ponto de vista geométrico. O conceito de limites podem parecer difíceis, mas a idéia é completamente simples quando você vê o que acontece geometricamente. Nós construiremos um diagrama que mostra uma função e pontos de aproximação da esquerda e da direita.

>	restart; with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

>	f := x -> 3 + (x-2)*cos((x-2));   a := 2:   left := -1:   right :=5:

>

display( plot( f(x),  x = left..right, color = green),           plot( {[[a,0],[a,f(a)]],[[0,f(a)],[a,f(a)]] },  x = left..right,             linestyle=3,color = gold, thickness = 2),           plot([[ a - 1/n, f(a - 1/n)] $n=1..20], x = left..right,             style=point, symbol=circle, color = red),             plot(  [[ a+1/n, f(a + 1/n)] $n=1..20], x = left..right,               style=point, symbol=circle, color = blue));

A linha verde é a função. A linha amnarela indica onde (a,f(a)) é. Os pontos azuis indicam pontos em f(x) com x abordando pela direita, e os pontos verdes indicam pontos no f(x) onde x está convergindo pelo lado esquerdo. Por olhar este diagrama, você pode advinhar o limite correto por olhar que valor de y os pontos parecem convergir para. Em um caminho parecido, você pode advinhar o limite esquerdo por olhar que valor os pontos vermelhos parecem convergir para. Se os pontos vermelhos e azuis aparecem convergindo ao mesmo valor, então o limite existe e os valores iguais são convergindos também.

Aqui é um outro exemplo onde a função é deixada e limites a direita não são os mesmos. Após redefinir f(x), copie e cole o comando display no bloco acima e execute de novo.

>	f := x -> Heaviside(x-1) - Heaviside(1-x); a := 1:  left := -2:  right :=4:

>

display( plot( f(x),  x = left..right, color = green),           plot( {[[a,0],[a,f(a)]],[[0,f(a)],[a,f(a)]] },  x = left..right,             linestyle=3,color = gold, thickness = 2),           plot([[ a - 1/n, f(a - 1/n)] $n=1..20], x = left..right,             style=point, symbol=circle, color = red),             plot(  [[ a+1/n, f(a + 1/n)] $n=1..20], x = left..right,               style=point, symbol=circle, color = blue));

Neste caso, a função não é contínua. Isto tem um pulo no x = 1. Os pontos vermelhos vem da aproximação esquerda do -1 enquanto os pontos azuis vem da aproximação direita do +1. Neste caso nós dizemos que o limite é indefinido desde há não exista um valor único para o limite..

Aqui são mais algumas funções de exemplo.  Para cada uma delas, faça o seguinte:

(1) advinhe não importando se a função tem um limite no ponto indicado (a)  e tente avaliando f(a).  (Em a maioria dos casos, isto não funcionará.)

(2) cheque (ou formule) seu convidado numericamente por avaliar a função em vários pontos próximos de ;

(3) desenhe a função e confirme que o gráfico tem o procedimento esperado próximo de .

(4) use o Maple para avaliar o limite de f(x) com x abordanado a .

>	f := x-> (x-1)/(x^2 - 1) ;   a := 1;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-1..a+1);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> sin(x)/x ;   a := 0;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-5..a+5);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> (1 - cos(x))/x ;   a := 0;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-5..a+5);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> (1 - cos(x))/x^2 ;   a := 0;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-5..a+5);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> if (x<0) then 0 else 1 fi:   a := 0;

>

f(a);

>	plot( f, -1..1);

>	f := x-> piecewise(x<=2, x^2, 6-x); a := 2;

>

f(a);

>	plot( f, -3..7, discont=true);

>	limit(f(x), x=2, right);

Error, (in limit) directional argument ('left', 'right', 'real' or 'complex') needs to be quoted

>	f := x-> sin(Pi/x) ;   a := 0;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-5..a+5);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> abs(x+1)/(x+1) ;   a := -1;

>	plot( f(x), x=a-5..a+5, discont=true);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> abs(x+1)^3/(x+1) ;   a := -1;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-5..a+5);

>	limit(f(x), x=a);

>	f := x-> x*sin(1/x) ;  a := 0;

>

f(a);

Error, (in f) numeric exception: division by zero

>	plot( f(x), x=a-5..a+5);

>	limit(f(x), x=a);

>