Calculo I

Lição 13:  Aproximação Quadratica

Nós queremos aproximar a função dada  f(x)  em   x=a  com o polinömino de segundo grau.

Mostre o polinömino de segundo grau com  P(x) = A  +  B (x - a)  +  C

Nós queremos:

                              P(a)   =   f (a)

                              P'(a)  =  f ' (a)  

                              P''(a)  =  f '' (a)  

Aqui, nós desejamos:

                             A  =  f (a)

                             B  =  f ' (a)

                          2 C  =  f '' (a)   

Assim,

              P(x)  =  f (a)  + f ' (a) (x-a)  + [  f '' (a) / 2 ]

Conclusão:  A aproximação quadratica para  f(x)  próximo de  x = a  é dado por:

                          P(x)  =  f (a)  + f ' (a) (x-a)  + [  f '' (a) / 2 ]

Exemplo   1

Ache a aproximação quadrática para  f(x)  =  sec (x)  para a = 0.

Desenhe ambos f(x)  e P(x)  no mesmo eixo próximo de 0.   

>

restart:

>	f:=  x -> sec(x);

>

f(0);

>

D(f)(0);

>	D(D(f))(0);

>	P:=  x -> 1  +  0.5 * (x)^2;

>	plot({f(x),P(x)}, x = -1..1, color=[blue,brown]);

Exemplo   2
Encontre a aproximação quadratica para  f x)  = sin (x)   para a = .

Desenhe ambos f(x)  e P(x) no mesmo eixo próximo   .

Então desenhe ambas as funções em largos domínios; P(x) é uma boa estimativa.  

para  f (x) ausente  partir de   ? .

>	f:= x -> sin(x);

>

f(Pi/6);

>	D(f)(Pi/6);

>

evalf(%);

>	D(D(f))(Pi/6);

>	P:=  x -> 0.5 + .8660254040 * (x - Pi/6)  - 0.25 *( x - Pi/6)^2;

>	evalf(Pi/6);

>	plot({f(x),P(x)}, x = 0..1, color=[brown,blue]);

O Gráfico abaixo mostra que P(x) NÃO É uma boa aproximação de f (x) para  x distante de .

>	plot({f(x),P(x)}, x = -2*Pi..2*Pi, color=[brown,blue]);

3)    Encontre a aproximação quadratica para  f (x)  =       próximo de a = 1.

Desenhe f (x) e P (x) no mesmo eixo próximo 1.

Desenhe f (x) e P (x) no mesmo eixo para um grande domínio; se P(x) é uma boa estimativa a partir de 1?

Determine os valores de x  para cada aproximação quadratica é preciso para dentro de 0.01.  

Voce pode usar o desenho para ajudar ?

>	f:= x -> 1/(1+x)^2;

>

f(1);

>

D(f)(1);

>	D(D(f))(1);

>	P:=  x ->  0.25  - 0.25 * (x - 1)  + (3/16) * ( x - 1)^2;

>	plot({f(x),P(x)}, x = 0..2, color=[blue,brown]);

>	plot({f(x),P(x)}, x = 0..10, color=[blue,brown]);

Do gráfico acima, nós vemos que P (x) NÃO é uma boa estimativa ao f (x) para x não próximo de 1.
Nós estamos encontrando valores de x para que |  f(x) - P (x) |  < 0.01, ex.,
 nós desejamos

:

                                           -0.01 <  f (x)  - P (x)  <  0.01

OU

                                            f (x)  - 0.01  <  P (x)  <   f (x)  + 0.01.

>	g1:= x -> f(x) - 0.01;

>	g2:= x -> f(x) + 0.01;

>	plot({P(x), g1(x), g2(x)}, x = 0.5..3, color=[blue, brown, magenta]);

>	solve({-0.01 <  f (x)  - P (x), x > 0}, x );

>	solve({f (x)  - P (x) < 0.01, x > 0}, x);

>

A partir do gráfico e de resolução, nós vemos que | P (x)  - f (x)  | < 0.01  para  

x em ( ,    ).   Nossa resposta é uma estimativa numérica.