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Calculo I

Lição 15: Analisando os Gráficos da Função 1 -
Direção e Concavidade

Nós desenhamos cada uma das seguintes funções e achamos:

- otos os pontos críticos

- Aonde a função está aumentando e aonde está diminuindo

- aonde a função é concava para baixo e aonde ela é concava para cima

- todos os pontos de inflexão

Exemplo 1

> restart: with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> g1:= x -> x^3 - 2*x^2 + x + 3;

> D(g1);

> factor(3*x^2 - 4*x + 1);

Assim nós temos os pontos críticos quando ou x -1 = 0, ex.,

pontos críticos são: e x = 1.

> a1:= plot(D(g1)(x), x = -1..2, color= black):

> b1:= plot([1/3,t,t = -1..2], color = red):

> c1:= plot([1,t,t = -1..2], color = red):

> d1:= textplot([.5,7,`g1'(x)`], color = blue):

> e1:= textplot([.27,4,`x = 1/3`], color = magenta, align = RIGHT):

> f1:= textplot([1.2,3,`x = 1`], color = magenta):

> display({a1,b1,c1,d1,e1,f1});

A partir do gráfico nós vemos que :

g1' (x) > 0 for or

g1' (x) < 0 for < 1.

Assim g1 está aumentando para e para x > 1 e g1 está diminuindo para < 1.

Conclusão (a partir do primeiro teste de drivada) que g1 tem um local máximo quando e um local máximo quando x = 1.

> D(D(g1));

Assim, g1'' (x) = e portanto

g1'' (x) > 0 for x > 2/3

g1'' (x) < 0 for x < 2/3.

Daqui, g1 é concavo para cima para x > e concavo para baixo para . Existe um ponto de inflexão

quando .

> plot(g1(x), x = -5..5, color = blue);

Aqui é um programa do Maple chamado shape_plot que resume atributos de uma função graficamente. Isto desenha a função de modo que as cores diferidas e a espessura do gráfico indica que propriedade de cada porção o gráfico possui.

Aumentando Diminuindo

Cores da Curva e espessura Curva azul espessa Curva vermelha fina

Concavidade para cima Concavidade para baixo

Color area shading Green shading upward Beige shading downward

>    shape_plot := proc(f,a,b)
local box,i,n,x1,x2,xmid,delta,y1,y2,A,B, m,M,slope, concav:
n:= 100;   delta := (b-a)/n;   x2 := a;
M := maximize( f(x), x = a..b); m := minimize(f(x), x = a..b);
for i from 1 to n do
x1 := evalf(x2); y1 := evalf( f(x1));
x2 := evalf(a + i*delta); y2 := evalf( f(x2)); xmid := x1 + delta/2;
slope := evalf( subs( x = xmid, diff( f(x), x )));
concav := evalf( subs( x = xmid, diff( f(x),x $ 2)));
if( slope > 0 )
then A[i]:=plot( f(x), x = x1..x2, color = blue, thickness = 4 );
else A[i]:=plot( f(x), x = x1..x2, color = red, thickness = 2 );
  fi;
if( concav > 0 ) then
     B[i]:=polygonplot([[x1,M],[x1,y1],[x2,y2],[x2,M]],
color=green,style=patchnogrid);
else
     B[i]:=polygonplot( [[x1,m],[x1,y1],[x2,y2],[x2,m]],
color=sienna,style=patchnogrid);
   fi;
od;
display({ seq( A[i],i=1..n ),seq( B[i],i=1..n ) } );
end:

> shape_plot(g1,-5,5);

Note que aquele local maximo ocorre onde a curva muda de azul para vermelho, e o local mínimo ocorre onde o gráfico muda de vermelho para azul. Pontos de Inflexão ocorre aonde o sombrado muda de verde para bege e vice-versa.

Exemplo 2
g ( x ) = x sin (x), x in [0, 2 ].

> g2:= x -> x * sin(x);

> plot(x * sin(x), x =-1..7);

A partir do desenho isto aparece que nós temos um local máximo e dois locais mínimos.

> D(g2);

>

Nós precisamos encontrar aonde g2' (x) = 0; isto é definido para todo x.

Quando x = 0, nós temos g2'(x) = 0 e assim 0 é um valor critico.

Ajeitando g2' (x) = 0, e dividindo pelo cos(x) nós obtemos: tan(x) = -x.

Nós desenhamos y = tan(x) e y = -x e olhamos para a intereseção. Nós fazemos trës desenhos para evitar aonde a tan(x) não é definida.

> a2:= plot(tan(x), x = 0..Pi/2 - .1, color = black):

> b2:= plot(-x, x = 0..4, color = blue):

> bb2:= textplot([3,5,`PLOT 1`], color = magenta):

> display({a2,b2,bb2});

>

> c2:= plot(tan(x), x = Pi/2 + .1..(1.5)*Pi - .1, color = black):

> d2:= plot(-x, x = 0..5, color = blue):

> dd2:= textplot([2,5,`PLOT 2`], color = magenta):

> display({c2,d2,dd2});

>

> e2:= plot(tan(x), x = (1.5)*Pi + .1.. 2* Pi, color = black):

> f2:= plot(-x, x = 0..7, color = blue):

> ff2:= textplot([2,-6,`PLOT 3`], color = magenta):

> display({e2,f2,ff2});

>

A partir do desenho 1 nós vems que x = 0 é o ponto crítico. A partir dos desenhos 2 e 3 nós vemos que existe precisamente um ponto crítico em ( /2, 3 /2), chamado de c1, e precisamente um ponto crítico em (3 /2, 2 ), chamado c2.

Vamos pegar a estimativa numérica para c1 e c2.

> fsolve(tan(x) = -x, x = Pi/2.. 3*Pi/2);

> fsolve(tan(x) = -x, x = 3*Pi/2.. 2*Pi);

Assim existem trës pontos críticos: x = 0, x = c1 ~ , e x = c2 ~ .

Nós temos que g2' (x) > 0 se sin(x) > -x cos(x) se (recorde aonde cos(x) > 0)

tan(x) > -x para x em [0, /2) OU x em (3 /2, 2 ] (recorde aonde cos(x) > 0.)

tan(x) < -x para x em ( /2, 3 /2).

(Recorde aonde cos(x) > 0.)

A partir dos desenhos 1,2,3 nós vemos que g2' (x) > 0 se x é em (0, /2), (c2, 2 ), ( /2,c1).

Assim, g2 está aumentando se x é em (0, /2), (c2, 2 ), ( /2,c1).

Logo, g2 tem um local mínimo quando x = 0, c2 e um local máximo quando x = c1.

Nós agora nos voltaremos para a concavidade.

> D(D(g2));

Assim g2'' (x) > 0 se 2 cos(x) > x sin(x) se (recorde aonde sin(x) > 0)

2 cot(x) > x e x em (0, ) OU

2 cot(x) < x e x em ( ,2 ).

De novo, nós desenhamos y = cot(x) e y = x.

> h2:= plot(cot(x), x = 0.1..Pi-.1, color = black):

> i2:= plot(x/2, x = 0..4, color = blue):

> j2:= textplot([1,6,`PLOT 1`], color = magenta):

> display({h2,i2,j2});

> k2:= plot(cot(x), x = Pi + .1 .. 2*Pi - .1, color = black):

> l2:= plot(x/2, x = 3..7, color = blue):

> m2:= textplot([4,8,`PLOT 2`], color = magenta):

> display({k2,l2,m2});

Deixe e1 demonstrar o único ponto em ( 0, ) aonde 2 cot(x) = x e deixe

e2 demonstrar o único ponto em ( , 2 ) aonde 2 cot(x) = x.

Assim, g2''(x) > 0 se x é em (0, e1) OU (e2, 2 ).

Logo g2 é concavo para cima se x é em (0, e1) OU (e2, 2 ).

Ambos x = e1, e2 conduz para o ponto de infleção.

Vamos pegar estimativa numérica para 1,e 2.

> fsolve(D(D(g2))(x) = 0, x, 0.1.. Pi - .1);

> fsolve(D(D(g2))(x) = 0, x, Pi + .1.. 2 * Pi - .1);

Assim, e1 ~ e e2 ~ .

> shape_plot(g2,-1,7);

Exemplo 3

Primeiramente note que nós não usamos x = 0.

O Limite de g(x) com x indo para o positivo (ou negativo) infinito é 1 e assim

nós obtemos a assintota vertical: y = 1.

> g3:= x -> (3 + x^2) / ( x^2);

Vamos desenhar para ver como o gráfico aparece.

> plot(g3(x), x = 1..4, color = black);

> plot(g3(x), x = -4..-1, color = black);

A partir do desenho nós conejcturamos que não há extrema, a função é aumentada para

x <0 e diminuida para x > 0, concavidade para cima em ( - , 0) e (0, ).

Sem pontos de infleção. .

> D(g3);

> simplify( 2 /x - 2*(3 + x^2)/(x^3));

Logo, g3' (x) = e assim 0 é o único ponto crítico.

Também, g3''(x) = , que é positivo para x SEM SER 0.

Assim toda a conjectura é correta.

> shape_plot(g3,-4,-1);

Exemplo 4

> g4:= x -> surd(x-4,3) * 2 * x;

> plot(g4(x), x = -5..7);

A partir do desenho, aparecerá que exite um mínimo e não existe máximo.

> D(g4);

> simplify( (2/3) * (surd(x-4,3)*x)/(x-4) + 2 * surd(x-4,3));

A partir dos dados acima, nós vemos que existem dois pontos críticos; denominados quando x = 4 e x = 3.

Futuras Simplificações fornece que

g4' (x) =

Como o denominador é sempre positivo (aonde definido), nós temos que

g4'(x) > 0 se x > 3. Assim g4 é aumentado se x > 3.

Logo, g4 tem o local máximo quando x = 3.

Nós precisamos determinar a concavidade

> D(D(g4));

> simplify( -4/9*surd(x-4,3)*x/((x-4)^2)+4/3*surd(x-4,3)/(x-4));

Assim, g4''(x) = . Nós concluimos que

g4''(x) > 0 iff x < 4 or x > 6.

Logo, g4 is concavo para cima em (- , 4) e (6, ) e é concavo para baixo em

(4,6). Então nós obtemos os pontos de infleção quando x = 4,6.

Nós podemos ver melhor a mudança na concavidade quando x = 6?

> plot(g4(x), x = 4..7, color = black);

> shape_plot(g4,4,7);

>