Calculo I

Lição 17: O Teorema de Valor do Meio

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Recorde o Teormea de Rolle:

Deixe f ser a função tal que

       1) f é continua em [a,b]

       2) f é diferente em (a,b)

       3) f(a) = f(b).

Depois, existe algum c em (a,b) tal que f '(c) = 0.

1) Use o Teorema de Rolle para mostrar que  tem exatamente uma raiz real.

>	f1:= x -> 3*x - 2 + cos( Pi * x / 2);

Vamos desenhar f1 para ver aonde as raízes são localizadas.

>	plot(f1(x), x = -4 * Pi.. 4 * Pi, color = red);

Isto aparece ser precisamente uma raiz real.

Vamos pegar numericamente o Maple para resolver isto.

>	fsolve(f1(x) = 0, x = 0..5);

Assim, aparece que a raiz real de f1 [e aproximadamente .

Como verificar nosso calculo numérico com o Teorema de Rolle ?

Suponha o contrário que f1 tem 2 ou mais raiz real; disse a,b

são raiz real de f1, ex., f1(a) = f1(b) = 0.

Depois pelo Teorema de Rolle lá existe algum c entre a e  b, com  

f1 '(c) = 0. Mas f1 '(x) = 3 -  /2 sin(  x/2 ) . Desde |sin(  )| < = 1

pata todo  , nós temos que |  /2 sin(  x/2 )| < =    /2 < 3.

Assim, f1 '(x) > 0 para todo x e assim nós temos uma contradição.

Logo, f1 tem precisamente uma raiz real.

Vamos desenhar f1 '(x) para ver que realmente isto é  > 0.     

>	plot(D(f1)(x), x = -4*Pi..4*Pi, color = red);

2)  Suponha que um objeto ande numa linha com função de posição dada por: .

 Encontre aonde a velocidade instantânea iguala com a velocidade média no intervalo [0,  ].

 Desenhe a figura.

Primeiro vamos desenhar a função posição.

>	s:= t -> t/2 - sin(t);

>	plot(s(t), t = 0..Pi, color = red);

A partir do desenho, nós vemos que o objeto primeiramente move para a esquerda e para a origem e depois continuamente move para a direita.

A Velocidade média do objeto no intervalo [0, ] é dada por:

         ( s( ) - s(0) ) / (  - 0 ) .

A Velocidade instantänea no tempo c é dada por '(c). Assim,

nós somos perguntados para resolver:

         ( s( ) - s(0) ) / (  - 0 ) = s '(c);

Precisamente o MVT.

>

s(Pi);

>

s(0);

>

D(s);

Nós precisamos resolver:  para t em [0,  ], ex.,  nós queremos cos(t) = 0

para t em [0, ]. A Solução é t =  /2. Vamos desenhar a figura com a linha secante  

entre os pontos (0, 0) e ( ,  /2 ), e com a linha tangente para t =  /2 .

As linhas podem ser paralelas.

>	D(s)(Pi/2);

>

s(Pi/2);

>	with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

>	data:= ([0,0], [Pi, Pi/2]):

>	a1:= plot( [data], color=magenta, thickness=2 ):

>	a2:= plot(s(t), t = 0..5, color = green, thickness=2):

>	a3:= plot((Pi/4 - 1) + 1/2 * ( x - Pi/2), x = 0..Pi, color = magenta, thickness=2):

>	a4:= textplot([1/5,1,`Secant Line`], align={RIGHT}, color = blue, thickness=2):

>	a5:= textplot([1.5,-.8, `Tangent Line`], color = blue):

>	display({a1,a2,a3,a4,a5});

>

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