Calculo I

Lição 1a:  Visualizando a Definição Precisa de um Limite

A precisa definição matemática de um limite é duro para agarrar quando você vê isto pela primeira vez.  Nós dizemos que
 se para todo  > 0 Existe um  > 0 de maneira que

   <  whenever 0 <  <  .

(Por que a desigualdade 0 <  é importante?  Por que não existe desigualdade correspondente 0 <  ?)

Aqui é um programa que pôde ajudar você a visualizar a definição.  A entrada ao programa consiste de 5 argumentos.  Os primeiros três são uma função , o ponto a e o valor L .  Você pode explorar sem importar se o limite de    com    Por variar dos últimos dois parametros: Se  é o valor correto do limite, vocë deveria ser capaz de inserir qualquer valor positivo para  e achar o vaor de    que trabalha na definição acima.  Você pode contar sem impor se um valor dado de  "trabalha", por que se isso faz, a porção do gráfico de    entre a linha vertical azul vai mentir com ele colocando a faixa horizontal vermelha.  

>

restart;

>	drawed := proc(f,a,L,epsilon,delta)

>	local f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,xmin,xmax,p,graphs;

>	xmin := a-2*delta; xmax := a+2*delta;

>	f1 := [t,f(t),t=xmin..xmax];

>	f2 := [t,L+epsilon,t=xmin..xmax];

>	f3 := [t,L-epsilon,t=xmin..xmax];

>	f4 := [a-delta,t,t=0..L+epsilon];

>	f5 := [a+delta,t,t=0..L+epsilon];

>	f6 := [a-delta,t,t=0..L-epsilon];

>	f7 := [a+delta,t,t=0..L-epsilon];             p := plots[pointplot]([[a,0],[a,f(a)]], symbol=circle, color=blue):

>	graphs := plot([f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7],

>	colour=[black,red,red,blue,blue,blue,blue]):             plots[display](p,graphs);

>

end:

>	f := x ->  x^2 + 2 ;  a := 2;  L := 6;

>	drawed(f,a,L,1,1);

Neste exemplo, nós estamos perguntando sem importar se  .  (lá deveria existir parenteses em torno da expressão  , mas o Maple  não parece que deseja escreve-lo de novo.)  Nós marcamos  e tentamos .  Como você pode ver, este valor de  é bem grande: o gráfico deixa cair fora da faixa horizontal antes de cortar uma das linhas azuis.  De Fato, olhando este primeiro convidado, isto parece com  podendo funcionar.

>	drawed(f,a,L,1,0.2);

Agora vocë que para , a escolha  pode funcionar.  É claro, que o valor de  não vai funcionar para nenhum .  Por exemplo, vamos ver o que acontece quando diminuimos  para 0.1.

>	drawed(f,a,L,0.1,0.2);

A faixa horizontal foi expremida, e mais uma vez o gráfico de    deixa isso antes de cruzar a linha azul:  não funciona para .  Experimente com o comando abaixo até vocë achar  que funcione para esse .

>	drawed(f,a,L,0.1,0.2);

>

Aqui existem duas ou mais funções, com pontos distintos   .  Para cada um dos termos, primeiro ache o valor limite de , depois encontre valores de  que trabalhem para    = 1, 0.1 e 0.001.

>	g := x -> sin(x)/x; a := 0;

>	j := x -> piecewise(x<=1,2+x,x>1,4-x); a := 1;

Agora tente este aqui.  Experimente com diferente valores de    se necessário.  O que vocë conclui ?

>	h := x -> piecewise(x<=1,x,x>1,1-x); a := 1;

>