Calculo I

Lição 21: A Regra de L'Hospital

Exemplo 1
Nós encontramos cada um dos limites a seguir, primeiro sem o Maple e depois com o Maple.

Desenhe o gráfico para visualizar a sua resposta.

>	restart; with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

a)

Nós vemos:

   =  = .

>	limit((x-2)/(x^2 - 4), x = 2);

>	aa:= plot((x-2)/(x^2 - 4), x = 0..3, color = red):

>	ba:= plot([x,0.25, x = 0..2], color = magenta):

>	ca:= plot([2,x,x = 0..0.25], color = magenta):

>	display(aa,ba,ca);

b)

Nós vemos:

   =  .

>	limit( (x^6 - 1)/(x^4 - 1) , x = 1);

>	ab:= plot((x^6 - 1)/(x^4 - 1), x = 0..2, color = red):

>	bb:= plot([x,3/2,x = 0..1], color = magenta):

>	cb:= plot([1,x,x = 0..3/2], color = magenta):

>	display((ab,bb,cb));

c)

Nós vemos:

   =  = 1.

>	limit( (exp(x) - 1)/(sin(x)), x = 0);

>	ac:= plot((exp(x) - 1)/(sin(x)), x = -1..-0.001, color = red):

>	bc:= plot((exp(x) - 1)/(sin(x)), x = 0.001..1, color = red):

>	cc:= plot([x,1,x = -0.5..0.5], color = magenta):

>	display((ac,bc,cc));

d)

Nós vemos:

   =  = 0.

>	limit( (ln(x)) / x , x = infinity);

>	plot((ln(x)) / x , x = 1..100);

e)

Nós vemos:

   =  

 =  = 1 * 1 = 1.

>	limit( ((sin(x))^2) / ( tan(x^2)), x = 0);

>	ae:= plot(((sin(x))^2) / ( tan(x^2)), x = -1..-0.01, color = red):

>	be:= plot(((sin(x))^2) / ( tan(x^2)), x = 0.01..1, color = red):

>	display((ae,be));

f)

Nos vemos:

   = .

>	limit( (arctan(2*x))/(3*x) , x = 0);

>	af:= plot((arctan(2*x))/(3*x), x = -1..-0.01, color = red):

>	bf:= plot((arctan(2*x))/(3*x), x = 0.01..1, color = red):

>	cf:= plot([x,2/3,x = -0.5..0.5], color = magenta):

>	display((af,bf,cf));

g)

Nós vemos:

   =

 =  = 0.

>	limit( sqrt(x)* ln(x) , x = 0, right);

>	plot(sqrt(x)* ln(x), x = 0.001..5);

h)  

Nós vemos:

   =

 =  

 = .

>	limit( x * exp(1/x) - x, x = infinity);

>	plot(x * exp(1/x) - x, x = 1..100, color = red);

i)

Let . Then, .

Nós vemos:

 =

 =  = -1 * 0 = 0.

Assim,

   = .

>	limit( x ^(sin(x)), x = 0, right);

>	plot(x ^(sin(x)), x = 0.001..2, color = red);

j)

Let . Then, .

Nós vemos:

 =

 = .

Assim,

   = .

>	limit( (exp(x) + x)^(1/x), x = infinity);

>	plot((exp(x) + x)^(1/x), x = 2..50, color = red);

k)  

Let . Then, .

Nós vemos:

 =  

 = .

Assim,

   = .

>	limit( ( 1 + 1/x)^(x^2), x = infinity);

>	plot(( 1 + 1/x)^(x^2), x = 2..10, color = red);

Exemplo 2

O diagrama mostra o setor do círculo com o ängulo central teta = .

Seja A = A(teta) é a área da região entre a corda PR e o arco PR.

Seja B = B(teta) é a área do triängulo PQR.

Ache o limte ( A(teta)/B(teta),  = 0, direita). Desenhe A(teta)/B(teta) para visualizar a sua resposta.

A partir do desenho o que acontece com A(teta)/B(teta) com  indo para  /2?

Aqui é o código do diagrama.

>	data:= ([0,0], [0.5, sqrt(3)/2]):

>	data1:= ([0.5, sqrt(3)/2], [1,0]):

>	data2:= ([0.5,sqrt(3)/2], [0.5,0]):

>	a:= plot( sqrt(1 - x^2), x = 0..1, color = red):

>	b:= plot([data], color = orange):

>	c:= plot([data1], color = orange):

>	d:= plot([data2], color = orange):

>	e:= textplot([.07,.05,`O`],color = magenta):

>	f:= textplot([.54,.05,`Q`], color = magenta):

>	g:= textplot([.9,.05,`R`], color = magenta):

>	h:= textplot([.4,.8,`P`], color = magenta):

>	l:= textplot([.25,.15,`theta`], color = magenta):

>	m:= textplot([.65,.35,`B`], color = red):

>	n:= textplot([.8,.5,`A`], color = red):

>	o:= plot(sqrt(.04 - x^2), x = 0.1..0.2, color = red):

>	display(a,b,c,d,e,f,g,h,l,m,n,o, scaling=constrained);

Seja o raio do círculo ser r. Nós temos:

 = área do setor inteiro - área do triängulo OPR =  

e

 = |QR| |PQ|/2 =  .

Assim,

 =  

 =  

 =

 = .

>	A:= x -> (0.5) * x^2 * ( x - sin(x));

>	B:= x -> (0.5) * x * ( 1 - cos(x)) * x * sin(x);

>	az:=plot(A(x)/B(x), x = 0.01..Pi/2, color = red):

>	bz:= plot([x,1/3, x = 0.01..Pi/2], color = magenta):

>	display((az,bz));

>	evalf( A(Pi/2) / B(Pi/2) );

>

A partir do desenho nós vemos que como  vai para /2, A( )/B( ) vai para aproximadamente .