Calculo I

Lição 3:  Continuidade e Limite no Infinito  II

Exemplo 1
Desenhe .  Determine o limite de f(x) com x indo para o .

>

restart:

>	a:= x * sin(1/x) ;

>	plot(a(x), x = 100..1000);

A partir do grafico, nós presumimos que o limite de f(x) com  x indo para o    é 1.

Exemplo 1b
 Desenhe .  Determine o limite de g(x) com x indo para o .

>	b:= 2^x / x;

>	plot(b(x), x = 10..100);

A partir do grafico nós presumimos que o limite de g(x) com x indo para o    é .

Exemplo 2
Desenhe .  Isto é uma função continua em 0?  Será que o limite dessa função existe com x indo para zero?  O que sobre o limite com x indo para o   ?

Onde é a função contínua ?

>	c:= (1/x)*sin(1/x);

>	plot(c(x), x = 0.01..1);

>	plot(c(x), x = -0.01..-1);

>	plot(c(x), x = 100..1000);

Conclusão :  A Função não é continua em  x = 0 desde que o limite da função com x indo para zero não existat. Entretanto o limite da função com x indo para o  é 0.  A Função é continua em toda a parte exceto em x = 0.

Exemplo 3

a)   Seja  e .  Desenhe s(x) e t(x) no mesmo eixo com cores diferentes.  

b)  Suponha que s(x) < f(x) < t(x)  para todo  x.  Ache o limite de f(x) com x indo para 4.

>	s:= x^2 - 4*x;

>	t:= 4*x - x^2;

>	plot([s(x),t(x)], x= 2..6, color=[magenta, brown]);

Resposta do (3b):  limite de f(x) com x indo para 4 é zero.

Exemplo 4  

a)  Seja  e .  Desenhe u(x) e v(x) no mesmo eixo com cores diferentes.

b) Suponha que u(x) < f(x) < v(x) para todo x > 5. Ache o limite de f(x) com x indo para o infinito.

>	u:= (4*x - 1)/x;

>	v(x):= (4*x^2 + 3*x)/(x^2);

>	plot([u(x),v(x)],x = 10..100, color=[magenta,brown]);

>	plot([u(x),v(x)],x = 1000..10000, color=[magenta,brown]);

Resposta (4b) :  A partir do desenho, o limite de  f(x) com x indo para o infinito é 4.

Exemplo 5
  Seja .  Desenhe m(x) para obter o limite de m(x) com x indo para o infinito negativo.  Calcule o limite sem usar o Maple.

>	m:= (sqrt(4*x^2 + 1)) /(x + 1);

>	plot(m(x), x = -10..-100);

>	plot(m(x), x = -100..-1000);

>	limit(m(x), x = -infinity);

>

evalf(%);

>