Calculo I

Lição 5:  Linhas Tangentes e Differenciais

Exemplo 1
Para cada uma das seguintes funções, nós desenhamos o gráfico de f(x) junto com a linha secante e tangente para  x = a.

a) f(x) = cos(x)

>

restart:

>

a := 1;

>	f := x->cos(x);

>	h := 2.2; q:= (f(a+h) - f(a))/h; secline:= x -> f(a) + q*(x - a); m:= D(f)(a); tanline:= x -> f(a) + m*(x - a);

>	plot([tanline(x), f(x), secline(x)], x=-5..5, color=[blue,green,magenta]);

b)    and a = 3.

>	f:= x -> x^4 -1;

>	q:= (f(a+h) - f(a))/h; secline:= x -> f(a) + q*(x - a); m:= D(f)(a); tanline:= x -> f(a) + m*(x - a);

>

a:= 3;

>

h:= 2;

>	plot({f(x), secline(x), tanline(x)}, x = a-1..a+3, color=[blue,red,magenta]);

c)     and a = 5.

>	f:= x -> sqrt(x) ;

>	q:= (f(a+h) - f(a))/h; secline:= x -> f(a) + q*(x - a); m:= D(f)(a); tanline:= x -> f(a) + m*(x - a);

>

a:=5;

>

h:=7;

>	plot({f(x), secline(x), tanline(x)}, x= a-4..a+6, color=[blue,violet,magenta]);

Exemplo 2
Para cada uma das seguintes funções, desenhe f(x) e Df(x) nos mesmos eixos.

a)    .  

>	f:= x -> x^3 - 7* x^2 + 12*x;

>

D(f);

>	plot({D(f)(x), f(x)}, x = 0..5, color=[magenta,brown]);

b)  f(x) = |x|.  

>	f:= x -> abs(x);

>

D(f);

>	plot({D(f)(x), f(x)}, x = -4..4, color=[magenta,brown]);

Exemplo 3
Seja    ; onde x está entre [-14,14].  

a)  Desenhe  f(x)  para x em [-14,1 4].  Qaul é o período de  f(x)?

>

restart:

>	f:= x -> 2 *sin(x) - cos(3*x);

>	plot(f(x), x = -14..14);

Periodo é .  

b)  Desde o período de f(x) é , desenhe f(x) e D(f) no mesmo eixo

para x entre [-1,7].

>

D(f);

>	plot({f(x), D(f)(x)}, x = -.1..7, color=[magenta,brown]);

c)  Quando f(x) tem um max ou um min em x = a, O que é D(f)(a)?

d)  Quando f(x) é crescente (diminuindo) Qual é o traço de f D(f)?

Quando f é crescente D(f) >0, e quando f is decrescente D(f) <0.

Exemplo 4
Seja f(x) =  if x > 0 e 0 se .

Desenhe f(x).  Use o gráfico para determinar aonde D(f)(0) existe.

>	f:= x -> piecewise( x > 0, x*sin(1/x), 0);

>	plot(f(x), x = -0.1..0.1);

>	plot(f(x), x = -.0001...0001);

Baseado nos desenhos, nós presumimos que aquele f não é differente quando x = 0.

Exemplo 5
Seja f(x) =  for x > 0 e 0 para x <= 0.

Desenhe f(x).  Use o gráfico para determinar se D(f)(0) exite.  

>	f:= x -> piecewise(x>0, x^2 * sin(1/x), 0);

>	plot(f(x), x = -.00001...00001);

Baseado no desenho nós presumimos que D(f)(0) = 0.  

Exemplo 6
Seja f(x) =   .  Desenhe f(x), a linh tangente quando x = .5 e

a linha normal quando x =.5 no mesmo eixo.  

>

restart:

>	f:=x ->  3 - 2*x^2;

>

D(f)(.5);

>

f(.5);

>	t:= x -> -2*(x - .5) + 2.5;

>	n:= x -> (1/2)*(x - .5) + 2.5;

>	plot({f(x), t(x), n(x)}, x = -1..1, color=[magenta,brown, wheat]);

Exemplo 7
Seja f(x) = |cos(x)|.  Determine aonde f(x) não é diferente.

>

restart:

>	f:= x -> abs(cos(x));

>	plot(f(x), x = -7..7);

>

A partir do desenho nós consideramos que (x) não é diferente nos múltiplos de    e   .