A Definição da Derivada

Primeiro, a definição.  A derivada da finção  no ponto  é

 ,

fornecido, claramente, que o limite existe.   Desde a derivada conta com o ponto onde isto é avaliado, isto é si mesmo uma função.   Maple  usa a notação  para essa função; a notação mais usual é    ' .  vocë deve estar agora familiarizado com varias interpretações para    ' : isto é o valor instantâneo de mudança de    em ; isto é a rampa da linha tangente ao gráfico de   ; se  representa a posição de um objeto no tempo , então  '( ) não é velociade.

Comandos de Diferenciação do Maple

>

restart;

É facil para escrever o procedimento do Maple  que calcuela a derivada da função usando a definição. (O comando unapply é usado para converter a expressão em função.)

>	myD := proc(f) unapply(limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0), x) end:

>	f := x -> x^2;

>

myD(f);

>

myD(sin);

Entretanto, o comando D  desenvolvido faz a mesma coisa:

>

D(f);

>

D(sin);

Note que D  diferencia a   função,  e que a derivada da função é de novo a função.  Por exemplo,  pode ser calculado no ponto:

>	D(f)(3); D(f)(-5); D(f)(0);

mas o   Maple  fornece outro comando que é mais próximo da prática comum de matemática (isto é o equivalente do Maple  da notação  .)  O Comando diff  diferencia a expressão, e da de volta uma outra expressão.

>	diff(x^2, x); diff(x^3 + 5*x, x);

Note que quando vocë usa o diff , vocë deve dizer ao Maple  a variavel indepedente.  Adivinhe qual é a resposta para o próximo comando antes de vocë pressionar o <enter>.

>	diff(x^2,y);

Isto é tudo, existem diferenciações no Maple .  Somente recorde que a derivada de uma função é a outra função, ae que eles são calculados com D  e diff  respectivamente.  Isto é um exemplo simples do Maple forçando você a pensar claramente, a propósito.  A distinção entre diferenciar funções e expressões não foi inventada pelos programadores do Maple: isto é real, e é refletido no fato que nós temos ambos a notação  primaria (')  e que a notação     para diferenciação, mas isto é usualmente mostrado acima ou ignorado nos textos.

Regras de Diferenciação

Agora vamos usar D  e diff para calcular algumas derivadas.  Enquanto fazemos isto, nós vamos ter a oportunidade de verificar as trës regras básicas de diferenciação.  (O Ponto que permaneçe é a Regra de Cadeia, que nós exploraremos em um outro worksheet.)  Primeiro, a derivada é linear:

  para qualquer constante  e .

Segundo, nós temos a regra de produto:

 .

Terceiro, a regra de quociente:

 .

A regra linear é simples.

>	diff(x^2, x); diff(x^3, x);

>	diff(7*x^2 + 4*x^3, x); diff(5*x^2 - Pi*x^3, x);

Aqui é isto de novo, usando D .

>	f := x -> cos(x^2); g := x -> x*exp(2*x);

>	D(f); D(g);

>	D(3*f - g);

Se você olha cuidadosamente a sintaxe do Maple, você pode ver que esta última resposta verifica a regra, mas pôde ser  mais fácil checando as várias funções em:

>	D(3*f - g)(x);

>	3*D(f)(x) - D(g)(x);

>

Agora vamos olhar o produto e regras de quociente, com as mesmas funções  e .  A regra de produto primeiro:

>

D(f*g);

>	D(f*g)(x);

>	D(f)*g + f*D(g);

>	D(f)(x)*g(x) + f(x)*D(g)(x);

Em termos de expressão, os mesmos calculos podem parecer

>	diff(f(x)*g(x), x);

>	diff(f(x), x)*g(x) + f(x)*diff(g(x), x);

Em outra forma, vocë pode ver que a regra de produto funciona.  Agora, para a regra de quociente:

>	diff(f(x)/g(x), x);

>	simplify(%);

>	(diff(f(x), x)*g(x) - f(x)*diff(g(x), x)) / (g(x))^2;

>	simplify(%);

(Voce pode fazer o cálculo com D   se voce desejar.)